第四讲 长方体和正方体(巧算体积)

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1、华罗庚数学第四讲长方体和正方体（巧算体积）例题讲学例1把一块棱长为6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材。铸成的钢材有多长？技巧【思路点拨】把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积没有变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。所以先求出正方体的体积，也就是长方体的体积。用体积除以长方体钢材的横截面面积，就可以求出长方体钢材的长度了。抓住体积不变这个隐藏的量，熔铸前体积等于熔铸后的体积，再根据“体积÷横截面积=长”这个公式，从而轻松解决问题。同步精练1.把一块棱长为0.8米的正

2、方体钢坯，锻造成底面积是0.16平方米的长方体钢材，锻造成的钢材有多高？2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米？3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水，把这些水全部倒入一个长4分米、宽3分米、高15分米的长方体水箱内，这时水深多少？要注满水箱还需要再倒入多少升水？例2一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃钢中，有10分米深的水。放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？5皖西外语五年级数

3、学奥赛辅导华罗庚数学技巧【思路点拨】将物体放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的体积其实就是物体的体积。本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。要明白一点：当物体完全沉没在水中时，物体的体积=上升的水的体积。同步精练1.一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水。现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？2.一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水

4、中后，容器中的水面刚好上升了4厘米，求每块铁块的体积。3.在一只长120厘米、宽60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明进入浴缸后，水刚好没到李明颈部。已知水上升了20厘米，求出李明颈部以下的体积是多少立方分米？2cm例3如图，一个长方体，高截去2cm，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，求原长方体的体积。【思路点拨】5皖西外语五年级数学奥赛辅导华罗庚数学当高少了2cm后，首先明白表面积少了哪些面？应该是前后左右四个小面，因为上面虽然也少了，但又多出来一个上面，所以少了4个小面，因为剩

5、下的部分是一个正方体，所以这四个小面是完全相等的，故用48除以4从而得出一个小面的面积，再用一个小面的面积除以2，从而能求出正方体的棱长，也是原长方体的长和宽，接着求出原长方体的高，最后求出体积。技巧关键是看截去一个小长方体后，表面积是少了哪些面，一般会认为少了5个小面，其实上面并没有少，只少了4个，而少的这4个面本题是有关系的，因为剩下的为一个正方体，所以先求出一个面积，从而打开解决问题的入口。同步精练1.把一个长方体的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一个正方体，而表面积却减少了36平方厘米，求原长

6、方体的表面积。2.从一个长是12厘米、高9厘米的长方体上，平行于底截掉一个4厘米高的小长方体，表面积减少了80平方厘米，求截掉的小长方体的体积是多少立方厘米？例4一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积是多少？技巧【思路点拨】要求长方体的体积，就要求出长方体的长、宽、高。因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米，也就是长×宽+长×高=长×（宽+高）=209。根据“长、宽、高以厘米为单位的数都是质数”这个条件可知：20

7、9=11×5皖西外语五年级数学奥赛辅导华罗庚数学19。而11和19哪个数能写成两个质数的和呢，只有19=2+17，所以长、宽、高就分别是11、2、17，从而能求出长方体的体积了。解决此类题目的关键是在把面积之和如何分成两个数的积，并且这两个数中首先必须有一个是质数，再把另一个数分成两个质数的和。同步精练1.一个长方体的前面和右面的面积之和是54平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积是多少？2.一个长方体的上面和右面的面积之和是36平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体

8、的体积和表面积分别是多少？练习卷1.一个正方体玻璃缸棱长2分米，向容器中倒入5升水，再放入一块不规则的石头，这时量得容器内的水深15厘米。石头的体积是多少立方厘米？5皖西外语五年级数学奥赛辅导华罗庚数学2.一个封闭的长方体容器的高是25厘米，长和宽都是10厘米，容器内装着一些水。如果把该容器长、宽都是10厘米的面做底面放在桌面上，这时水的高度是15厘米。如果把容器长25厘米、宽10厘米的面做底面放在桌子上，这时水的高度是多少厘米？3.一只底面是正方形的长