高中数学指数与指数函数

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1、第五节　指数与指数函数a的n次方根根式a(3)有理数指数幂的运算性质：①ar·as＝________(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝________(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr2．指数函数的图象与性质a>100时，_______；当x<0时，________当x>0时，______；当x<0时，_____在R上是_______在R上是________

2、R(0，＋∞)(0，1)y>101增函数减函数1．如图2－5－1是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？【提示】图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1＞d1＞1＞a1＞b1，∴c＞d＞1＞a＞b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．2．函数y＝ax，y＝a

3、x

4、(a＞0，a≠1)二者之间有何关系？【提示】函数y＝a

5、x

6、与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关

7、于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．【答案】B【答案】D【解析】由题意得0≤16－4x＜16，∴函数的值域是[0，4)．【答案】C4．(2013·三明模拟)当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．【解析】∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2，此时，f(2)＝－2，因此必过定点(2，－2)．【答案】(2，－2)5．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2－1)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数

8、的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算．1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．已知f(x)＝

9、2x－1

10、，(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数．【思路点拨】(1)作出f(x)的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系

11、中分别作出f(x)、f(x＋1)图象，数形结合求解．(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝x2的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x＋1)的图象，如图所示．(3)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝

12、2x－1

13、和y＝x2的图象如图所示，有四个交点，故g(x)有四个零点．1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问

14、题得解．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．k为何值时，方程

15、3x－1

16、＝k无解？有一解？有两解？【解】函数y＝

17、3x－1

18、的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＜0时，直线y＝k与函数y＝

19、3x－1

20、的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝

21、3x－1

22、的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝

23、3x－1

24、的图象有两个不同交点，所以方程有两解.【

25、思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解．(2)先求函数的定义域，再判断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x＞0的情况．1．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞0时的情况．∵x1＜x2，∴当a＞1时，ax2＞ax1＞0，从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(

26、x1)＜f(x2)，f(x)为R上的增函数，当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0，从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)为R上的减函数．分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂