高三数学一轮复习含绝对值的不等式

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1、第五节　含绝对值的不等式最新考纲理解不等式

2、a

3、－

4、b

5、≤

6、a＋b

7、≤

8、a

9、＋

10、b

11、高考热点1.以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合．2．以解答题的形式考查含绝对值不等式的证明，其中

12、a

13、－

14、b

15、≤

16、a＋b

17、≤

18、a

19、＋

20、b

21、起到放缩的作用.2．两数和差的绝对值的性质

22、a

23、－

24、b

25、≤

26、a±b

27、≤

28、a

29、＋

30、b

31、特别注意此式，它是和差的绝对值和绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件．

32、a＋b

33、＝

34、a

35、＋

36、b

37、⇔；

38、a－b

39、＝

40、a

41、＋

42、b

43、⇔；

44、a

45、－

46、b

47、＝

48、a＋b

49、⇔；

50、a

51、－

52、b

53、＝

54、

55、a－b

56、⇔.ab≥0ab≤0(a＋b)b≤0(a－b)b≥03．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下：(1)

57、f(x)

58、＜a(a＞0)⇔；(2)

59、f(x)

60、＞a(a＞0)⇔；(3)

61、f(x)

62、＜g(x)⇔；(4)

63、f(x)

64、＞g(x)⇔；(5)

65、f(x)

66、＞

67、g(x)

68、⇔；(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如

69、x－a

70、＋

71、x－b

72、＞m或

73、x－a

74、＋

75、x－b

76、＜m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．－a＜f(x)＜af(x)＜－a或f(x)

77、＞a－g(x)＜f(x)＜g(x)f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)[f(x)]2＜[g(x)]21．解含多个绝对值的不等式时，若用分段讨论法去绝对值，要注意：(1)区间端点处的值不能遗漏；(2)在两个区间上解出结果应与本区间求交集；(3)各区间上的解集并起来，才得原不等式的解集．2．要重视绝对值的几何意义、数形结合，快速解出形如

78、x－a

79、＋

80、x－b

81、＜c等这类绝对值不等式的解集．3．注意存在性问题与恒成立问题的区别，不等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成立，一定有解．4．在应用不等式的性质：

82、a

83、－

84、b

85、≤

86、a±b

87、≤

88、a

89、

90、＋

91、b

92、解决问题时要注意等号成立的条件.例1解关于x的不等式

93、x2－3x－4

94、＞x＋2.[分析]本例去绝对值可用零点分区间讨论的方法，也可以利用公式法．题型一绝对值不等式的解法思维提示设法去掉绝对值符号[规律总结]由于

95、f(x)

96、＞a中，a为大于零的常数，而本题中x＋2正负不确定，故讨论其正负，即得解法一；解法二是不管x＋2的正负，直接利用公式

97、f(x)

98、＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a求解，结果是一样的．从理论上讲，解法一更合理些.备选例题1解不等式

99、x2－4

100、＋

101、x＋3

102、＞5.题型二绝对值不等式性质的应用思维提示①不等式的

103、基本性质；②绝对值不等式的性质.[分析](1)利用对数函数的性质和不等式的性质进行判断，用排除法解较简便．(2)可从绝对值不等式的性质

104、a＋b

105、≥

106、a

107、－

108、b

109、出发，去寻找原不等式成立的充要条件．[答案](1)1(2)

110、a

111、＞

112、b

113、[规律总结](1)放缩法是不等式证明的常用方法．放缩的思路主要有两种：①利用绝对值不等式的性质放缩，如

114、a

115、－

116、b

117、≤

118、a＋b

119、≤

120、a

121、＋

122、b

123、.②利用分数分子分母放缩，分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等号是否还能成立．(2)证明充要条件的问题时，一定要分

124、清充分性和必要性各指什么.解析：解法一：特殊值法取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2＜0，这样有

125、x＋y

126、＝

127、1－2

128、＝1，

129、x－y

130、＝

131、1－(－2)

132、＝3，

133、x

134、＋

135、y

136、＝1＋2＝3，

137、

138、x

139、－

140、y

141、

142、＝

143、1－2

144、＝1，∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．解法二：由xy＜0得x，y异号，易知

145、x＋y

146、＜

147、x－y

148、，

149、x－y

150、＝

151、x

152、＋

153、y

154、，

155、x－y

156、＞

157、

158、x

159、－

160、y

161、

162、，∴选项C成立，A、B、D均不成立．答案：(1)C(2)D题型三含绝对值不等式的证明思维提示①运用

163、a

164、－

165、b

166、≤

167、a±b

168、≤

169、a

170、＋

171、b

172、放缩；②运用比较

173、法、分析法和综合法.例3设f(x)＝ax2＋bx＋c，当

174、x

175、≤1时，总有

176、f(x)

177、≤1，求证：

178、f(2)

179、≤8.[分析]欲证

180、f(2)

181、≤8，要充分利用

182、x

183、≤1时总有

184、f(x)

185、≤1这个条件，即对[－1,1]上的每一个值均有

186、f(x)

187、≤1，故可采用特殊值f(0)，f(1)，f(－1)，将这些特殊值通过字母系数a，b，c与f(2)联系起来，以达到证题目的．[规律总结]证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两种：一是恰当地运用

188、a

189、－

190、b

191、≤

192、a±b

193、≤

194、a

195、＋

196、b

197、进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对

198、值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法.备选例题3已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明：(1)f(0)＝f(1)