广义逆矩阵及其应用]

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1、第七章广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组Ax=b（0—1）当A是ｎ阶方阵，且detA≠0时，则方程组（０－１）的解存在、唯一，并可写成−1x=Ab（0—2）但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的m×n矩阵（一般m≠n），−1显然不存在通常的逆矩阵A，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（0—2）的紧凑形式？即x=Gb（0—3）1920年摩尔（E.H.Mo

2、ore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。§1矩阵的几种广义逆1．1广义逆矩阵的基本概念1955年，彭诺斯（Penrose）

3、指出，对任意复数矩阵A，如果存在复矩阵A，满足mxnnxmAXA=A（1—1）XAX=X（1—2）H(AX)=AX（1—3）H(XA)=XA（1—4）则称X为A的一个Moore—Penrose广义逆，并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程，简称M—P方程。由于M—P的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。mxnmxn定义1—1设A∈C，若有某个X∈C，满足M—P方程（1—1）～（1—4）中的全部或

4、其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。例如有某个X，只要满足式（1—1），则X为A的{1}广义逆，记为X∈A{1}；如果另一个Y满足式（1—1）、（1—2），则Y为A的{1，2}广义逆，记为Y∈A{1,2}；如果X∈A{1,2,3,4}，则X同时满足四个方程，它就是Moore—Penrose广义逆，等等。总之，按照定义1—1可推得，满足11234个、2个、3个、4个Moore—Penrose方程的广义逆矩阵共有C+C+C+C=15种，但应用4444较多的是以下五种A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,

5、2,3,4}以后将会看到，只有A{1,2,3,4}是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下；—1．A{1}：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或g逆，记为A；2．A{1，2}：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为Ar；3．A{1，3}：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为Am；4．A{1，4}：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为Ai；+5．A{1，2，3，4}：唯一，称作加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A。n

6、n为叙述简单起见，下面我们以R及实矩阵为例进行讨论，对于C及复的矩阵也有相应结果。–1．2减号逆AT定义1—2设有m×n实矩阵A（m≤n，当m＞n时，可讨论A）。若有一个n×m实矩阵（记––为A）存在，使下式成立，则称A为A的减号逆或g逆：–AAA=A（1—5）–1–1––1–当A存在时，显然A满足上式，可见减号逆A是普通逆矩阵A的推广；另外，由AAA=A得–TT（AAA）=A即T–TTTA（A）A=A––TT可见，当A为A的一个减号逆时，（A）就是A的一个减号逆。10100100例1—1设A=10,B

7、=,C=，易知01000110ABA=B，ACA=A故B与C均为A的减号逆。Ir0−Ir*例1—2若A=则A=，其中*是任意的实数。m×nn×m00**Ir*证因为对任意的，都有n×m**Ir0Ir*Ir0Ir0=m×nn×mm×nm×n00**0000所以Ir*A=n×m**X1X2反之，任意的X=，若满足n×mXX34Ir0X1X2Ir0Ir0=00X

8、3X40000Ir*必须有X=I，即X为的形状证毕1r**Ir0例1—2表明，标准形的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*位置，就是一个00减号逆，填不同数，就得到不同减号逆。下面我们讨论当A为非零矩阵时，如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆，即讨论A的存在