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1、高一数学竞赛辅导六(向量应用)求解平面向量中的数量积问题,主要有这样几种方法:1.利用向量线性运算,施行向量的转化;2.建立坐标系转化为代数问题;3.利用向量数量积的几何意义解决数量积的求解问题。4.公式法:(极化法)例1(1)已知平面向量,满足
2、+
3、=3,
4、-
5、=1,则=_____.(2)已知平面向量,,满足
6、
7、=1,=1,=2,则
8、-
9、的最小值为______.(3)已知平面向量与不共线,若对任意的实数t,都有
10、t+(1-t)
11、≥
12、
13、,则()A.⊥B.⊥(-)C.⊥(-)D.⊥(+)变式1已知两个向量,的夹角为30°,,为单位向量,
14、,则的最小值为.若=0,则=.变式2变式3[14浙江文9]设θ为两个非零向量,的夹角,已知对任意实数t,
15、+t
16、的最小值为1,则()
A.若θ确定,则
17、
18、唯一确定B.若θ确定,则
19、
20、唯一确定
C.若
21、
22、确定,则θ唯一确定D.若
23、
24、确定,则θ唯一确定
变式4[竞赛题]已知,若对任意,,则一定为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定例2已知平面向量,满足
25、
26、=1,
27、
28、=2,且=1,若(-)(-)=0,则
29、c
30、的取值范围为5变式一:已知平面向量,满足
31、
32、=1,
33、
34、=2,且=1,若(-)(-)=,则
35、满足
36、
37、=1,
38、
39、=
40、2,且=1
41、的最大值为______.变式二:已知平面向量,满足
42、满足
43、
44、=1,
45、
46、=2,且=1,,则对任一平面向量,(-)(-)的取值范围是________变式三:已知平面向量,满足
47、满足
48、
49、=1,
50、
51、=2,且=1,,若(-)(-)=,记=<-,->,则cos的最小值为_____.变式四:已知平面向量,满足
52、满足
53、
54、=1,
55、
56、=2,且=1,若<-,->=,则
57、
58、的最大值为_______.例3在中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则变式:设,是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有,则()A. B.C.AB=ACD
59、.AC=BC例4已知平面向量a,b满足
60、
61、=1,
62、
63、=2,且=1,若单位向量e=+(≥0),则的最大值为_____.变式1四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,OD=3,点P为BOD内(含边界)的动点,,则的最大值为变式2【2013高考】设为单位向量,非零向量。若的夹角为,则的最大值等于。变式3在中,.若点在的角平分线上,满足5,且,则的取值范围是.OACB变式4.如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为()A.B.C.D.变式5(2016年浙江高考)已知向量a、b,|a|=1,
64、|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|,则a·b的最大值是.例5【求面积比问题】1、设D为ABC边AB上一点,P为ABC内一点,且满足则2、设O点在ABC的内部,且有则4、[2014省赛]若平面上四点A,B,C,D,满足任意三点不共线,且,则5训练题:1、[14浙江理7]设,为平面向量,则()
A.min{
65、+
66、,
67、-
68、}≤min{
69、
70、,
71、
72、}B.min{
73、+
74、,
75、-
76、}≥min{
77、
78、,
79、
80、}
C.max{
81、+
82、2,
83、-
84、2}≤
85、
86、2+
87、
88、2D.max{
89、+
90、2,
91、-
92、2}≥
93、
94、2+
95、
96、2 2、已知,是平面只两个互
97、相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是。3、如图所示,为△ABC部一点,且满足,,且,则的面积为()A.B.C.D.4、向量满足,,则的最小值为()A.B.C.D.5、已知非零向量满足,,则的最小值是,最大值是6.已知O是内一点,,且,若,则=________;的值是________.7、设点是的重心,若,,则的最小值是8中,,上的高,,则.11.设,,,且,则在上的投影的取值范围是.12、已知向量的夹角为,,向量,的夹角为,,则与的夹角为__________,的最大值为.(15年省赛16题改编)55