教案10(教师用)数学归纳法

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1、教案10数学归纳法一、课前检测1．在数列{}中，=1，(),求。解：n=1时,=1以上n-1个等式累加得==，故且也满足该式∴()。2．在数列{}中，=1，，求。解：由已知得，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式∴().二、知识梳理（一）基本知识1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对

2、象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法65.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正

3、整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫

4、忘掉.（二）解读(1）用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。(2）在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，

5、而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。(3)“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。(4)用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.(5)没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1用数学归纳法证明：错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，综合（1）（2），等

6、式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设(6)归纳起点未必是1。问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为点拔：本题的归纳起点6三、典型例题分析题型1证明等式问题例1用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，即是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。变式训练1在数列中，，求数列的通项公式。解：猜想下面用数学归纳法证明：

7、（1）当n=1时，，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立小结与拓展：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。（4）“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式。6题型2证明不等式问题例2（2010年北京调研20）数列满足

8、：，.（Ⅰ）若数列为常数列，求的值；（Ⅱ）若，求证：(.)。解：（Ⅰ）当数列为常数列时，=，由条件得，解得或．（Ⅱ）用数学归纳法证明.（1）当时，，符合上式.（2）假设当时，，因为，所以，即.从而，即.因为，所以，当时，成立.即当n=k+1时命题也成立由（1）、（2）知，对，都成立。变式训练2对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学