2013名师导学·高考数学三角恒等变换及三角函数的图象与性质

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1、新课标命题有关三角函数，平面向量和解三角形的考查趋势是：2010年以两道选择题考查平面向量的数量积和余弦定理，一道解答题考查三角函数的最值与零点和三角恒等变换能力；2011年以一道填空题考查平面向量的数量积，一道解答题考查正弦定理，已知函数值求角的大小与求三角函数最值，同时考查三角恒等变换能力；2012年以两道选择题考查平面向量的数量积，余弦定理、三角函数的值域，以及三角恒等变换能力．同时一道选择题综合考查三角函数给值求角与逆否命题，一道填空题综合考查三角函数图象、解析式与复合函数的导数、定积分、几何概型．由此可预测2013年的考查仍将会以选择题或填空题考查平面向量、三角函数和解三角形的主干

2、知识，同时渗透三角恒等变换能力的考查并适当地融入在知识网络交汇点处命题的思想，仍有可能以解答题考查三角函数的主干知识和三角恒等变换能力．也有可能应用三角函数的图象和性质．或解三角形的基础知识和方法解决实际应用问题，试题难度中档或中档偏易，考查分值在17～20分．第3讲　三角恒等变换及三角函数的图象与性质1．考题展望三角函数是基本初等函数，是描述周期性现象的重要数学模型，在高考中，主要考查对三角函数概念的理解，运用三角函数公式进行三角恒等变换的能力．掌握三角函数图象的基本特征和基本性质，并能灵活地进行图象变换，考查读图、识图和用图能力，同时与向量、解三角形和实际应用问题交汇，考查三角知识的工具

3、性作用．【解析】选A.根据题设条件得到变化后的函数为y＝cos(x＋1)，结合函数图象可知选项A符合要求．故选A.【命题立意】本小题主要考查三角函数的图象和图象变换等知识，考查考生的识图能力．【命题立意】本小题主要考查二倍角公式、两角差公式及三角恒等变换等基础知识与方法，考查转化化归思想和运算求解能力．【命题立意】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数等基础知识，考查考生的分类讨论思想和运算求解能力．(3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化．3.三角函数恒等变换易错点(1)“给角求值”时没有发现角的内

4、在联系造成错解．一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”没有运用整体思想造成繁解．给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解．“给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性区间求得角．4．三角函数图象与性质的易错点(1)利用三角函数图象变换中的周期变换与相位变换时，

5、易将ω与求错．A【点评】三角函数图象和性质综合成一题已成为高考选择题的一种趋势，强化利用图象法研究y＝Asin(ωx＋)(或y＝Acos(ωx＋)、y＝Atan(ωx＋)各种不同的性质．B例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示．BA【点评】本小题为三角函数的常见题型，求解的关键是先“化同角”，然后“弦化切”，便可解决问题．【点评】本例第(2)小题为“给角求值”问题，求解思想是：向特殊角转化，构造相互约分或互为相反数，从而实现函数值的求得．1．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用．如两角和与差的正切公式可变形为

6、：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．5．三角函数中最值、奇偶性、对称性、单调区间及其周期是高考命题的热点．(1)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变换化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．②若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Asin(

7、－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间，对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与上类似．③比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数，再利用单调性比较．CBC(－∞，2]【点评】考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos2θ达到化切目的．【