_截面法_在三重积分计算中的应用[1]

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1、‘,,。积分的下限不一定为当然当区域为凸区域时对积分的下限肯定为。、对口积分的上下限有时不明显,。“把,,二,写为极坐标系下的二次积分其中刀为双纽线砂,,几。所围的右边一半见图、本题对先对积积分的上下限是,、。明显的而对积分的上下限不明显产矿二,这时可令曲线方程姗中的即少“,解得“二士或“二士“‘不”奇导,,一合题意舍去则。就是对积分的‘’’‘‘一‘一票“‘“一一一一哪以声”—“,口二。下限为上限吞子一、。一·‘一,,,亿产琦“,。,故得二口口少”图名‘‘畜为什么可用这种方法确定的上下限呢现作如下解裱设区域为单连通的有界闭区,,二切。。域极点在其边界上并且其边界曲线可用一个单值函数扔表达如

2、图可以,、、。把它看作是一个特殊的扇形域是一个在图中三点重合的扇形区域因此令二中仍中,。、。的边界曲线的推出的夕的两个值就相当于图中的夕故可作对口积分、。的上下限八丫,甲的夕图图“”截面法在三重积分计算中的应用电子科技大学应用教学系,培趁,,。众所周知在三重积分的计算中我们一般是将三重积分化为三次积分来计算关于用“”,。,截面法来计算三重积分在一般高等数学教材中提及较少实际上在某些情况下利用“”,。截面法可将三重积分化为定积分来计算使计算过程大大简化、一计算公式‘,,,口为‘《《,,设函数在空间区域口上连续其中幻《《为川“,,‘二’一,口劣,之劣,‘’’““二,,‘《《则伽》广,岁二《内的

3、每一固定的二如果设对位于区间《,。用尸表示平面二二二与空间区域口相截出之,的平面区域在面上的投影区域则有,二,,·一,“,“”果函数,一仅是单一变二沙”具,,劣,的函数则一“‘·,‘或“一常数’“得计算““卫夕,···‘一,,““二夕·,“二“‘,“用‘,式可将三重积”化为“积分叮,。来计算、二实例,‘例计算“其中“是由三坐”““平“二“围成”空、沙一。区域解,法一化为三次积分来计算‘一‘一冰”沁二,一“一“,户污二,一卜一十二丁沁叫污加淤,袱沁命娜法二用截面法‘二,“一生、兰会笋华产‘二·“一价一劣伽且办二‘砂一“’“‘“贰,。显然该题解法二较为简单二,,,有时函数虽然不是单一变量的函数

4、二,,但如果劝可拆成分别为变量,,,‘,“”的函数的和那未也可以用截面法。来计算·二例二”算‘·,子刹、其中“为。坦浮手爷丢二十娜【耸、“犷,‘、价进沙⋯月粉哪手“价井和龙戈一此处尸为椭圆。下扩习《·“二·分河万事不了代入式犷二一一坦脚默刹二一万下尸“口,,,代了二“口口‘二侧由对称性知式右端的三积分值是相等的所以二“口‘勺勃、,“”。三有些曲面积分用商斯公式化为三盆积分后也可以用截面法来计算,·二,二二,“二‘例‘计算,其中为曲面与平面一所围成立体的。表面的外侧解法一用曲面积分计算,令刃为平面的上侧刃为平面的下侧,刃。。为曲面护的外侧,一二,,““,,,‘·‘二‘,一二,一‘二’”一,,

5、‘一,,,‘,,一一,口,“一“一二汀一岔一汀汀解法二用截面法‘·二,“伽一,,,‘户怪白勺水盆习气。显然对该越解法二简单得多且不易出错,“”,由上可以看出在计算三重积分时恰当地使使截面法可使计算大大简化起到事半。。功倍的效果对学生拓广思路是大有好处的二重积分的变量代换,海师范大学离英敏。,变量代换是计算积分的一种有效方法用不用变量代换的方法不仅是计算简便和繁杂,,。的问题而且有时也是算得出和算不出的间题所以必须很好掌握本文仅从一典型例子出,,,发说明在二重积分的变量代换中除了常用的极坐标这一特殊变量代换外有时还需要作。,,其它的变量代换这虽然有很大的随意性但选取变换的标准首先应考虑使积分

6、区域化简,。从而使积分限容易安排同时被积函数也易于求累次积分二重积分的变量代换公式为劣,设,在平面的有界闭区域刀上连续且二“,,,。。,二哟把双方单值地变到区域连续可微函数城劣一一。。,雅可比行列式寺。在上成立则