练习106(三重积分的计算(截面法和求体积))- 答案.pdf

《练习106(三重积分的计算(截面法和求体积))- 答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、练习册106三重积分的计算（截面法和求体积）（答案）h221、计算zdv，其中积分区域是由平面zhh0和锥面zxyR0,h0R围成的闭区域。解：画出积分区域（如右图所示），22R2x,y,z0zh,x,yDzx,yxyz，hh224hhR2Rz122zdv0zdzdxdy0z2zdz2Rh。Dzhh404222222、计算zdv，其中积分区域是由曲面xyz4和xy3z围成的闭区域。22222解：联立方程xyz4

2、和xy3z，求解得z1。画出积分区域，并用平面z1把分成两部分和（如右图所示），12222x,y,z1z2,x,yDx,yxy4z，11z22x,y,z0z1,x,yDx,yxy3z，22z12122zdvzdzdxdyzdzdxdyz3zdzz4zdz0101D2zD1z24312z13z2z。041422223、计算由曲面zxy和xyz所围立体的体积。22222解：联立方程xyz4和x

3、y3z，求解得z0和z1。2（方法1：利用定积分）因为当0z1时，截面面积Szz，112所以，立体的体积VSzdzzzdz。006（方法2：利用二重积分）设所围立体在xoy平面内的投影记为D，xy因为Dr,02,0r1，xy21所以，立体的体积Vx2y2x2y2dxdydrr2rdr。006Dxy（方法3：利用三重积分）222x,y,z0z1,x,yDx,yzxyz，z1112所以，立体的体积Vdv0dz1

4、dxdy0Szdz0zzdz。6DZ22222224、求球体xyzR和xyz2Rz公共部分的体积。2222222R解：联立方程xyzR和xyz2Rz，求解得z。2（方法1：利用定积分）R2因为当0z时，截面面积Sz2Rzz，2R22当zR时，截面面积SzRz，2RRR所以，公共部分的体积VSzdz2SzdzSzdz00R2R3333322R22RR2RRR5302RzzdzRRzdzR。2224

5、342412（方法2：利用二重积分）设所围立体在xoy平面内的投影记为D（如右图所示）。xy3因为Dxyr,02,0rR，2222222所以，公共部分的体积VRxyRRxydxdyDxy23R3RRd22R2r2Rrdr222rR2r2drR2rdr000033RR232r2252232Rr22RR。302012（方法3：利用三重积分）R记公共部分为，在平面z以下的部分记作1，在平2R面z以下的部分记作（如图所示）。2

6、2R2221x,y,z0z,x,yD1zx,yxy2RzR，2R22221x,y,zzR,x,yD2zx,yxyRz2RRVdv2dzdxdydzdxdy所以，公共部分的体积0RD1z2D2zR3333322R22RR2RRR5302RzzdzRRzdzR。2224342412