广义逆矩阵及其应用

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1、济南大学毕业论文题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号-1-济南大学毕业论文-1--II-目录第一章前言………………………………………………………………………1第二章广义逆矩阵………………………………………………………………2§2.1广义逆矩阵的定义………………………………………………………2§2.2广义逆矩阵的性质………………………………………………………3第三章广义逆矩阵的计算………………………………………………………12§3.1一般广义逆求解…………………………………………………………12§3.2Moore-Penrose广义逆……………………………………

2、……………16结论………………………………………………………………………………19第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解

3、及极小范数解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义

4、逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现

5、代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。第二章广义逆矩阵-19-§2.1广义逆矩阵的定义一、Penrose广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose定义。定义2.1设矩阵，若矩阵满足如下四个Penrose方程（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）（ⅳ）中的一部分或全部方程，则称为的一个广义逆矩阵。若只满足（ⅰ）式，则成为的一个-逆，可记为，所有满足-逆的构成的集合记为。若满足四个方程中的第个方程，则称为的一个-逆，记为，所有满足-逆的构成的集合记为。二、常见广义逆定义

6、按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有=15类，其中常见的有，，，，。定义2.2设有复矩阵。若有一个复矩阵存在，使下式成立，则称为的减号逆：(2.1)当存在时，显然满足上式，可见减号逆是普通逆矩阵的推广；另外，由得，即可见，当为的一个减号逆时，就是的一个减号逆。-19-定义2.3设复矩阵，若有一个矩阵，满足：且称为的一个自反逆矩阵，记作为，满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅱ）式，所以。显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵是矩阵的-逆，即,若矩阵也是矩阵的-逆，即，则为的一个自反逆矩阵。定义2.4设复矩阵，若有一个矩阵，满足：及，则称为的最小二

7、乘广义逆，记作，满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅲ）式，所以。最小二乘广义逆是用条件对减号逆进行约束后所得到的子集。定义2.5设复矩阵，若有一个矩阵，满足：及，则称为的最小范数广义逆，记作，满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅳ）式，所以。显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若满足全部四个方程，则称为的Moore-Penrose广义逆矩阵，记为。§2.2广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。