2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题05

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1、2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五（时间：120分钟满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．若函数满足，则的解析式是______________2．如图，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于__________3．若，则角的取值范围是______________4．袋中装有个红球和个白球，，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为_________

2、__5．已知实系数一元二次方程的两个实根为、，且，，则的取值范围是______________6．如图，在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，则这样的直线的条数为_____________7．已知为锐角，且，则____________8．设是以2为周期的奇函数，且，若，则__________9．若成等差数列，则直线被椭圆截得线段的中点的轨迹方程是______________10．设，，，则的最大值为______________82016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五二、解答题：本大题共4

3、小题，每小题20分，共80分．11．设、、是函数的反函数图像上三个不同点，且满足的实数有且只有一个，试求实数的取值范围．12．已知，设，，记；（1）求的表达式；（2）定义正数数列：，试求数列的通项公式．82016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五13．如图，的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，设、分别为内切圆与边、的切点，求证：、、三点共线．82016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五14．如图，已知抛物线：，为的焦点，为准线，且与轴的交点为，过点任意作一条直线交抛物线于、两点；（1）若；求证：；（2）设为线段的中点，

4、为奇素数，且点到轴的距离和点到准线的距离均为非零整数；求证：点到坐标原点的距离不可能是整数．82016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五答案一、填空题：1．若函数满足，则的解析式是______________解：由得，脱掉绝对值号，有：，∴．2．如图，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于__________解：构造平行四边形，则，，；．3．若，则角的取值范围是______________解法一：，得；，∴，解得．解法二：原不等式可变形为，构造函数，则原不等式为，易知在上是增

5、函数，因此，注意到，解得．4．袋中装有个红球和个白球，，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为___________解：记“取出两个红球”为事件，“取出两个白球”为事件，“取出一红一白两球”为事件；则；由题意可知，即；也即；从而为完全平方数，又由及，得；所以有：，或，或，或；解之可得：（舍去）；或，或，或；共有3组．5．已知实系数一元二次方程的两个实根为、，且，，则的取值范围是______________解：设，则，，得；在直线坐标平面上作出上述不等式所表示

6、平面区域，如右图中阴影部分所示（不含边界），两直线与的交点是，表示经过坐标原点和可行域内的点的直线的斜率，显然，当过点时，斜率为；当与直线平行时，斜率为，所以．82016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五6．如图，在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，则这样的直线的条数为_____________解：由于二面角的平面角为，所以在这个二面角及它的“对顶”二面角内，不存在过点且与平面和平面均成的直线，转而考虑它的补二面角，易知过点有且仅有两条直线与平面和平面均成，故满足条件的直线有2条．7．已知

7、为锐角，且，则____________解法1：由题意及三倍角的余弦公式得，即；故．解法2：设，则；故．8．设是以2为周期的奇函数，且，若，则__________解：∵，∴，∴．9．若成等差数列，则直线被椭圆截得线段的中点的轨迹方程是______________解：由知，直线过定点，又点在椭圆上，∴为所截线段的一个端点，设另一端点为，的中点为，则有即，而点在椭圆上，代入椭圆方程中，有，故中点轨迹方程是．10．设，，，则的最大值为______________解：由题设得，则，即；∴，当且仅当时取等号．二、解答题：11．

8、设、、是函数的反函数图像上三个不同点，且满足的实数有且只有一个，试求实数的取值范围．解：的反函数是，则，，；∴由，得：；此方程等价于；………………………………………………（5分）（1）当，即时，方程有唯一实根；……………………（10分）82016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五（2）当，即时，方程有两个实根，显然，满足条件，从而应有即；…（15分）而时，点、