线性代数复习概要

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1、(2)用性质化成上(下)三角行列式推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0(ij)(1)用定义:D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)或D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)1.行列式的计算1行列式与它的转置行列式相等,即D=D2互换两行(列),行列式改变符号.3如果行列式D中某行(列)的所有元素是两个数的和,那么D可

2、表示成两个新行列式之和,即2.行列式的基本性质4行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面5把行列式的某一行(列)各元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变(1)范德蒙行列式:(2)上(下)三角行列式3.特殊行列式(3)主对角行列式(4)副对角行列式:设线性方程组的系数行列式4.克莱姆法则,则该线性方程组有且仅有唯一解:列式D中第j列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的n阶行列式,其中Dj(j=1,2,...,n)是把系数行(1)定义:设n维向量组1,2,,m,若存在不全为零的数k1,k2,

3、,km,使k11+k22++kmm=0,则称向量组1,2,,m线性相关,否则称为线性无关,即只有当k1=k2==km=0时,k11+k22++kmm=0才成立.6.向量组的线性相关性定义:对于n维向量,1,2,,m,若存在一组数1,2,,m,使=11+22++mm,则称是1,2,,m的线性组合.或者说可由1,2,,m线性表示.5.向量的线性组合2n维向量组1,2,,m(m≥2)线性相关1,2,,m中至少有一个向量可由其

4、余m1个向量线性表示3任意一个包含零向量的向量组必线性相关4两个向量线性相关它们的各对应分量成比例(2)性质:1线性相关=0;线性无关07无关组增加分量仍无关;相关组减少分量仍相关8个数大于维数的向量组线性相关6若1,2,,m线性无关,而1,2,,m,线性相关,则可由1,2,,m线性表示.5部分组线性相关,则整个向量组线性相关;整个向量组线性无关,则部分组线性无关2用性质(3)线性相关性的判别:1用定义3用行列式:设n个n维向量所组成的向量为i=(ai1,,ain),i=1,

5、2,,n.且则1,,n线性相关D=0;1,,n线性无关D04用向量组的秩:设向量组A:1,2,,mA线性无关A的秩等于m;A线性相关A的秩

6、,,m线性表示.则称1,2,,m为T的一个最大线性无关向量组.7.最大线性无关向量组8.向量组的秩性质:等价的向量组有相同的秩.定义:设V为n维向量的集合,若V非空,且对任意,V,有+V,V,即V对于加法及数乘两种运算封闭,则称V为向量空间9.向量空间定义:设V为向量空间,若1,2,,nV,且(1)1,2,,n线性无关;(2)V,可由1,2,,n线性表示则向量组1,2,,n称为V的一个基.基所含向量的个数n称为V的维数.并称V为n维向量空间.且V={X=11+

7、22++nn

8、iR}10.向量空间的基和维数(1)矩阵的加法定义:设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij).则矩阵A与B的和记作A+B,规定为A+B=(aij+bij)mn11.矩阵的运算(2)数与矩阵相乘定义:数与矩阵A=(aij)mn的乘积记作A或A,规定为A=A=(aij)mn(3)矩阵与矩阵相乘定义:Cmn=AmsBsn=(aij)ms(bij)sn=(cij)mn其中cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj(i=1,2,,m;j=1,2,,n)则称C为A与B的乘积.记C

9、=AB注:1矩阵乘法不满足交换律2