等差数列的定义及通项公式--概念解析

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1、2.2.1等差数列的定义及通项公式1)1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．在等差数列{an}中，a2＝－5，d＝3，则a1为()BA．－9B．－8C．－7D．－4A23．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an－1(n∈N)，则数列的通项an等于()DA．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n4．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()A．－9B．－8C．－7D．－4B5．已知等差数列{an}的前3项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数

2、列的通项an为()BA．2n－5B．2n－3C．2n－1D．2n＋1解析：由已知2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，整理得a＝0，∴a1＝－1，a2＝1，d＝a2－a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－3.3重点等差数列的单调性及通项公式(1)由等差数列的定义知an＋1－an＝d，当d＞0时，an＋1＞an即{an}为递增数列；当d＝0时，an＋1＝an即{an}为常数列；当d＜0时，an＋1＜an即{an}为递减数列．(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，等差数列任意的两项间有an＝ak＋(n－k)d，即d＝an－akn－k.4难点等差数列常见的判定方法(1

3、)定义法：an＋1－an＝d(常数)；(2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数a、b、c成等差(3)通项公式为n的一次函数：an＝kn＋b(k、b为常数)．5等差数列中的基本运算例1：在等差数列{an}中，(1)已知a1＝－3，d＝2，an＝7，求n；(2)已知a5＝11，a8＝5，求a1、d、an；思维突破：由通项公式an＝a1＋(n－1)d，在a1、d、n、an四个量中，可由其中任意三个量求第四个量．6先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式．7值为______.－1941－2.已知数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p，且p≠q，则a

4、p＋q＝____.0求等差数列的通项公式例2：在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．8思维突破：给出等差数列的两项，可转化为关于a1与d的方程组，求得a1与d，从而求得通项公式．9求等差数列的通项公式①确定首项a1和公差d，需建立两个关于a1和d的方程，通过解含a1与d的方程求得a1与d的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d求解．2－1.已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.求数列{an}的通项公式．解：由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴an＝2n.10等差中项的应用11三项

5、成等差数列的问题往往借助等差中项去证明，即a、A、b成等差数列⇔2A＝a＋b.3－1.数列{an}为等差数列，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列的通项an为_______.解析：由已知得a4＝5，a5＝7，∴d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝5＋2(n－4)＝2n－3.2n－312例4：判断下列数列是否是等差数列．(1)an＝4n－3；(2)an＝n2＋n.错因剖析：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论，等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”．正解：(1)∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]

6、－(4n－3)＝4，∴{an}为等差数列．(2)由an＝n2＋n知a1＝2，a2＝6，a3＝12，a2－a1≠a3－a2，∴{an}不能构成等差数列．134－1.已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．14