等差数列定义及通项公式

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1、等差数列定义及通项公式基础教育系一、举例4，5，6，7，8，9，10；⑴3，0，-3，-6，…；⑵1/10，2/10，3/10，4/10，…；⑶特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。二、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列;这个常数就叫做等差数列的公差;公差通常用字母d表示。在数列{an}中，若an+1-an=d(n∈N*),d为常数，则{an}是等差数列。常数d叫做等差数列的公差。特例：0，0，0，0，…a,a,a,a,…理解：①第二项起；②“同

2、一个”③求公差d时，可以用d＝an–an－1，也可以用d＝an+1–an；④公差d∈R，当d=0时，数列为常数列，d>0时,数列为递增数列，d<0时,数列为递减数列；⑤d＝an–an－1或d＝an+1–an是证明或判断等差数列的依据。三、等差数列的通项公式：1、公式推导：归纳法：∵{an}是等差数列，则有a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d……an=an-1+d=a1+(n–1)d∴an=a1+(n–1)d又，当n=1时

3、,等式成立∴n∈N*时，an=a1+(n–1)d叠加法：∵{an}是等差数列，则有an－an-1＝dan-1－an-2＝dan-2－an-3＝d……a2－a1＝d∴an–a1=(n–1)d∴an=a1+(n–1)d2、通项公式：an=a1+(n–1)d，a1为首项，d为公差。3、公式变形：对任意的p、q∈N*，在等差数列中，有ap=a1+(p–1)daq=a1+(q–1)d∴ap–aq=(p–q)d∴ap=aq+(p–q)d(其中p、q的关系可以有p>q,p=q,p

4、；②已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。四、例题评讲：例1、判断下列数列是否为等差数列。⑴1，2，4，6，8；⑵2，4，6，8，10；⑶0，0，0，0，0；⑷1，2，4，7，11；例2、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项。⑵－401是不是等差数列–5，–9，–13，…的项？如果是，是第几项？分析：对于⑴小题，是由公式求指定项，为此将a1=8,d=–3,n=20代入，就可求出相应的项。对于⑵小题，是判断一个数是否为等差数列的项，可用解方程的方法。⑴求等差数列8，5，2，…的第20项。解：由a1=8,d=5-8=-3,n=

5、20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49⑵－401是不是等差数列–5，–9，–13，…的项？如果是，是第几项？解：由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得an=-5-4(n-1)令-401=-5-4(n-1)解得n=100，即-401是为个数列的第100项。说明：判断一个数是否为等差数列的项，要看关于通项公式构成的以n为末知数的方程有没有正整数解。例3、在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31，求首项a1与公差d。解：依题意得a1+4d=10a1+11d=31解得：a1=-2,d=3;即这个等差数列的首项是-2

6、，公差是3。五、课堂练习：1、求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。2、求等差数列10，8，6，…的第20项。3、在等差数列{an}中，已知a4=10,a7=19求首项a1与公差d。4、在等差数列{an}中，已知a3=9,a9=3求首项a1与公差d。