二次函数与一元二次方程（复习）

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1、二次函数与一元二次方程复习段村一中温建城类型之一　抛物线的平移例1　将抛物线y＝3x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，那么得到的抛物线的函数表达式为(　　)A．y＝3(x＋2)2＋3B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2＋2D．y＝3(x－2)2－3[答案]A类型之二　二次函数的图象和性质例2　如图2－T－1为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大．其中正确的说法有________(把正确答案的序号都填在横线上

2、)．图2－T－1[答案]①②④[解析]∵图象开口向上，∴a>0.∵图象与y轴交于原点的下方，∴c<0，∴ac<0，故①正确．∵图象与x轴交于点(－1，0)和点(3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3，故②正确．∵直线x＝1是对称轴，∴当x＝1时，a＋b＋c＜0，故③错误．在对称轴直线x＝1右侧，y随x的增大而增大，故④正确．类型之三　二次函数与一元二次方程例3　若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝________(只要求写出一个)．[答案]5(满足c>4的整数值都可以)[解析]∵抛物线y＝x2－4x＋c

3、与x轴没有交点，∴一元二次方程x2－4x＋c＝0没有实数根，∴(－4)2－4c＝16－4c<0，即c>4(c为整数)．[点评]考查二次函数图象与x轴的交点个数和一元二次方程的解之间的关系．类型之四　二次函数最值的应用例4　水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图2－T－2所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数表达式；②请你帮王阿姨拿

4、个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)图2－T－2解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得80(a＋2)＝88a，解得a＝20.答：现在实际购进这种水果每千克20元．(2)①∵y是x的一次函数，∴可设函数表达式为y＝kx＋b，将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得解得k＝－11，b＝440，∴y＝－11x＋440.②设最大利润为W元，则W＝(x－20)(－11x＋440)＝－11(x－30)2＋1100，∴当x＝30时，W最大值＝1100.答：将这种水果的销售单价

5、定为30元/千克时，能获得最大利润1100元．类型之五　二次函数与几何的综合例5　[益阳中考]如图2－T－3，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)在抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．图2－T－3[解析](1)先求出直线y＝－3x＋3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入y＝a(x－2)2

6、＋k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；(2)设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2，由AQ＝BQ，得到方程1＋m2＝4＋(3－m)2，解方程求出m＝2，即可求得点Q的坐标；(3)当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P(2，－1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF＝NF＝AF＝CF

7、＝1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A(1，0)，B(0，3)．又抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A(1，0)，B(0，3)，∴解得即a，k的值分别为1，－1.(2)如图2－T－4①，设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.在Rt△AQF中，AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2，在Rt△BQE中，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2.∵AQ＝BQ，∴AQ2＝BQ2，∴1＋m2＝4＋(3－

8、m)2，∴m＝2.∴点Q的坐标为(2，