知识梳理8：直线和圆(学生版)

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1、高中数学复习系列之八《直线和圆》知识梳理《考试说明》对《直线和圆》这一章所涉及知识考点和方法技巧的具体要求主要有：①直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、参数式、一般式），注意设法及各自的限制条件；②两条直线的位置关系（相交、垂直、平行、重合）的判断，注意充要条件；③点到直线的距离公式，能熟练应用；④设圆的标准方程或一般方程解决有关问题；⑤直线与圆的位置关系以及两圆位置关系的判断与应用；另外，注意建立在圆中应用平面几何的有关性质简捷解决问题的意识。一、重点知识（一）直线有关问题1．直线有关概念：直线的倾

2、斜角的取值范围为。当直线的倾斜角不是时，斜率；当直线的倾斜角等于时斜率。过两点的直线的斜率公式；定比分点坐标公式：设，直线上一点分有向线段的比为,则2．直线方程的几种形式及适用范围：直线形式条件方程适用范围图像点斜式斜截式两点式截距式一般式向量式参数式例1①过点且在两坐标轴的截距相等的直线方程为；②过点且与圆相切的直线方程为。3．两条直线的位置关系⑴若直线、的斜率存在且不重合：①；②。⑵若（不为零）。①；②；③与相交；④与重合4.点到直线的距离：平面内一点的距离为。平行线间距离：两条平行线间的距离为。例2①若圆上至少

3、有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是。解析5这道试题明显改造于1991年全国高考试题：圆上到直线的距离等于的点的个数是（）A.1B.2C.3D.4②已知点到两定点的距离比为，点到直线的距离为1，求直线的方程。解析③已知，直线：和圆：．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解析：评注：1.直线系方程问题及直线恒过定点问题；2.（Ⅱ）的多种解法。（二）圆的有关问题1.圆的方程：①圆的标准方程：；②圆的一般方程：；③圆的参数方程：。例3①且是方程表示圆的A．

4、充分非必要B．必要非充分C．充要条件D．既非充分也非必要条件②直线l:3x+4y-12=0与圆C:(为参数)公共点个数为。2.直线与圆的位置关系的判定方法有两种：①代数法：把直线方程代入圆的方程转化成二次方程利用判别式；；.②几何法：利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：；；.如为平面任意一点，直线圆的位置关系：点在圆外，直线与圆；点在圆上，直线与圆；点在圆内，直线与圆.3．弦长公式：设直线与圆交于两个不同点，则所截得弦长为：=.4.两圆位置关系：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，.4条公切线；3

5、条公切线；；；无公切线；5.两圆的公共弦与圆的切线长：例4：①已知两圆：，：，5则以两圆公共弦为直径的圆的方程是.②已知两个圆①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为.解析事实上，本题尚可进一步推广：设两圆方程分别为①与②，则由①-②可得方程（或）③表示两圆的根轴。”特别地，若两圆半径相等，则为两圆的对称轴方程；若两圆半径不相等，则有以下几种情况：外切时表示内公切线；相交时表示公共弦所在直线；内

6、切时表示外公切线；内含或相离时为根轴。③由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．④已知两定点如果动点P满足条件则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）（A）（B）（C）（D）⑤已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：动点M到圆C的切线长与的比等于常数.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.简析⑥（2011浙理）是两个定点，点为平面内的动点，且(且)，点的轨迹围成平面区域的面积为，设(且)，则以下判断正确的是（）A．在上增，在上减B．在上减，在上减C．在上增，在上增D．在上减，在上增⑦（2008苏

7、）若，则的最大值（三）对称问题⑴点关于定点的对称点坐标为；曲线：关于定点的对称曲线方程为。⑵若求点关于直线的对称点，可得方程组；特别地，若对称轴为则P点坐标为；若对称轴为则P点坐标为；如：已知点在圆C：上，点关于直线的对称点也在圆上，则圆心坐标为，半径为．⑶圆关于的对称圆的方程为；关于直线的对称圆的方程为。（4）关于对称问题的几个应用：例5①光线从点射到直线上，经过反射，其反射光线过点，则光线从到所走过的路程为；一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程为.解析②若的顶点，，，则的平分线所在直线方

8、程5为．在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），则点A和点C的坐标分别为。③设点,试在x轴上找一点P使得：最小，则最小值为；此时P点坐标为；若使得最大，则最大值为；此时P点坐标为；④函数的最小值为；函数的最大值为；⑤折叠问题：在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD