构造函数证题

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1、构造函数证题的妙想与思维方法的探讨1　引言构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们起着桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用．因此想通过本论文给大家介绍一些构造函数法的基本思路．首先给出构造函数法及构造法的定义，然后重点从实例出发，研究构造函数及其思维方法在具体问题中的应用，最后简单介绍构造思维方法解题的过程和解题策略．所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤，达到能够定义辅助函数和实现命题论证的方法．而构造函数，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念，通过已知的

2、数学概念和方法，在题设的约束条件下，去达到证明或者说明某结论或概念的正确性的目的．相信本论文对初学者能起到一定的帮助作用，一方面帮助大家抓住构造函数及其思维方法的关键所在，另一方面又配有相应的典型例题解说，使大家少走弯路提高学习效率，同时开阔学术视野．2　数学中常见的构造函数法及其思维方法的应用2.1　构造函数法在解、证等式、不等式中的应用有关解、证等式、不等式的问题，一般运用比较法、分析法、综合法等．然而对有些问题运算比较麻烦，且不易得到结果．这时，如针对所解决的问题构造一个辅助函数，则原来问题的

3、求解或证明，就转化为对这一函数性质的研究.可以运用函数的图像、单调性、奇偶性、最值、连续和微积分等性质来帮助解决，运算过程就会变的比较容易了．2.1.1　构造函数在证明等式中的应用例1已知，求证：．分析由，可联想到三角函数中的关系式，若令，则，此时用、表示、，再计算的值是否为就行．证明设，则,9由上面的两式分别得，,故．2.1.2　构造函数在证明一般不等式中的应用例2设、、是的三条边，证明．分析根据不等式的结构特征，经过等价变形，从一个含多元的数学问题里，选定合适的主要变元，从而把问题转化为研究函数

4、的性质．证明由题意不妨设，令，原不等式等价于，由函数的图像是一条开口向上的抛物线，知函数在上单调递减．又，要证明，只须证明即可，而，又，则，即，故命题得证．例3求证：．分析此题有多种证法，这里介绍一种颇具新意的、用构造函数求导数的证题思路．导数的一个重要应用是能快速的判断函数的增减性．证明先构造函数，再求出其导数，因，则当时，为增函数，又因,所以有即．2.1.3　构造函数证数列不等式9例4求证．分析可以尝试用数学归纳法证明，但较繁琐，注意到原数列不等式等价于，启发我们构造数列，利用数列的单调性去探寻

5、．证明设,由，知是递增的,又，故有，从而命题得证．2.2　构造函数法在求极限和求解方程方面的应用构造函数法是数学解题中最富有活力的数学转换方法．如能恰当的运用，不仅能把问题变繁为易、变抽象为具体，达到难题巧解的目的，而且能大大丰富学生的想象能力，培养学生解题的整体意识和创造性思维能力．2.2.1　构造函数在求极限中的应用例5求．解构造辅助函数，而，则当时，是型的不定式．由罗必达法则，有,又由是关于的连续函数，得，由此．思路总结构造恰当的辅助函数；化离散变量为连续变量，而且还必须考虑连续变量相应的极限

6、过程，如本例中用到罗必达法则的过程；求解的关键在于考虑辅助函数极限的求得．2.2.2　构造函数在讨论方程根中的应用9论证方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭区间上连续函数的零点定理去思考；另一类是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理了．例6设、、为满足的实数．证明：方程在内至少有一根．分析函数虽然在上连续，但却难以验证在上的某个子区间的端点处的函数值是否异号．但是经分析的原函数，在处的函数值恰好是式子的左边，因此该命题可利用罗尔定理来证．证明构造函数，显然函数在上连续，在

7、内可导，又因为，，由罗尔定理，存在一个，使得,即，命题得证．2.3　微分中值定理证明中辅助函数的构造及其应用“构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法．许多文献中，中值定理、罗尔定理和中值定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了．具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足引理的辅助函数，进而推导出了结果；而中值定理和中值定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果．微分中值定理的证明实现了函数与其导数之间的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质．处

8、理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔定理，中值定理和中值定理条件的辅助函数．下面以举例的形式介绍几种常用的辅助函数的构造方法．2.3.1　凑导数法（原函数法）例7设函数在上连续，在内可导，证明：存在，使．证明（证明一）将欲证明的结论变形得9，将等式中的自变量记为新的自变量，即,然后积分得，其中为任意的常数，得到的辅助函数为,显然在上连续，在内可导，又因为，满足罗尔定理的条件，所以存在，使得，故．我们可将上述过程归纳总结为：将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形