弹性力学第二章

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1、第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第二章平面问题的基本理论第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程第十节常应力情况下的简化应力函数第二章平面问题的基本理论弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1　平面应力问题和平面应变问题弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为；平面应力（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。（3）

2、面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：第一种：平面应力问题平面应力（1）等厚度的薄板；坐标系如图选择。平面应力简化为平面应力问题：故只有平面应力　存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力（1）两板面上无面力和约束作用，故所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。平面应力（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力　仅为。（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第

3、二种：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。坐标系选择如图：平面应变对称面故任何z面（截面）均为对称面。平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为。平面应变所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为。平面应变两种平面问题的比较平面应变几何特征

4、受力特征独立量基本方程平面应力一个方向的尺寸<<其它两个方向的尺寸、有两个平行板面面力作用在板边、平行于板面；体力也平行于板面都沿厚度不变；约束作用于板边平行于板面沿厚度不变平衡微分方程、几何方程相同物理方程不同平面应变一个方向的尺寸>>其它两个方向的尺寸、横截面的形状和尺寸沿长度不变面力、体力、约束都平行于横截面沿长度不变将平面应力问题物理方程中的代换即可§2－2　平衡微分方程定义平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体的平衡条件。平面问题的平衡微分方程可以由空间问题的平衡微分方程简化得到。平衡条件两

5、种平面问题都有平面应力。平面应变，只是（x,y）的函数。由平衡条件简化即可得到平面问题的平衡微分方程⑵适用的条件--连续性，小变形；说明对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，因为（，）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。说明⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。当均平衡时，保证，平衡；反之则不然。说明所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。平面问题的几何方程，可以由空间问题的几何方程简化

6、得到：说明平面问题的物理方程可以由空间问题的物理方程简化得到。定义对平面应力问题，由于故其物理方程为：定义对平面应变问题，由于故其物理方程为：定义平面应力物理方程→平面应变物理方程：平面应变物理方程→平面应力物理方程：已知坐标面上应力，求斜面上的应力。（注意此面平行于z轴，即方向余弦）问题的提出：§2－3　平面问题中一点的应力状态问题由空间问题的结论问题斜面应力表示：简化得到斜面应力(2)求（）将向法向，切向投影，得设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:(3)求主应力斜面应力(2-6)将x，y放在

7、方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设）(4)求最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。位移边界条件－－设在部分边界上给定位移分量和,则有（在上)。（2-14）定义边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件§2－6　边界条件⑵若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在上）（2-14）⑶它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。⑴它是函数方程，要求在上每一点，位移与对应的约束位移相等。应力边界条件－－设在上给定了面力分量应力边界条

8、件（2-15）⑴它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：⑶式（2-15）只能在边界s上成立；⑵它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；⑹所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）也必须满足。⑷式（2-15）中，－－按应力符号规定，，－－按面力符号规定；⑸位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示，向的条件；说明若x=a为正x面，l=1,m=0,则式(d)成为当边界面为坐标面时，坐标面若x=-b为负x面，l