弹性力学第二章.doc

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1、第二章变分原理与能量原理2.1功和能基本概念能量法是与静力学方法平行的一种方法，对许多问题的求解更为方便，也能解决一些其它方法难以解决的复杂问题。静力平衡方程方法——————————能量法解题复杂，有时甚至得不到全部平衡方程能解决很复杂问题（一）外力功与应变能的一般表达式1.常力(集中力)·直线运动2.变力·曲线运动3.变形体：（不是常力）（准静态，而非冲击，即非波）对线弹性体(准静态)（图示）4.广义力与广义位移集中力偶，转角*问：线弹性结构外力功的计算是否能运用叠加原理?答：不能。因。是的二次函

2、数而不是线性函数。（二）试述实功与虚功之区别。当结构发生变形时，作用于结构的外力会在相应的位移上作功。这里可分为两种不同的情况：(1)外力在自身引起的位移上作功，这种功称为实功。例如，解6—1图(a)所示简支梁上外力在位移叫上所作之功即为实功，如解6—1图(b)中的阴影面积所示。其中为外力引起的位移。(2)外力在其它因素引起的位移上作功，这种功称为虚功。例如，解6—1图(a)所示简支梁上外力在位移上所作之功即为虚功，如解6-I图(b)中的阴影面积所示其中为外力在外力处引起的位移。实功与虚功的区别在于

3、：(1)作实功时，外力随位移而变，故实功为变力作功；作虚功时，外力不随位移而变，故虚功为常力作功。(2)作实功时，外力与自身引起的位移在方向上总是一致的，所以实功恒为正功；作虚功时，其它因素引起的位移与外力的方向就不一定一致了，所以虚功可正、可负。以上仅就外力功作了讨论，至于内力实功与虚功的区别，请读者、自己思考。（三）弹性杆应变能的一般表达式(忽略剪力，广义力乘广义位移)在小变形条件下，变形与，，不耦合，可以叠加。对于斜弯曲，弯矩沿主形心轴分解,换成例：计算外力功：单独作用：单独作用：和共同作用：

4、附加项*问：前述弹性杆应变能的一般表达式中各项是否能用叠加原理？答：能。因各广义力引起的变形不耦合。（四）应变能和余应变能结构元件受到逐渐增大的载荷P的作用，如图2-5所示。当元件因受载而伸长时，载荷P就作功。在静力学中，由于不考虑惯性力(质量力)，所以，假设载荷的施加是非常缓慢的，同时在加载过程中没有热量的产生和消散，于是按照能量守恒原理，可知载荷所作的功W=结构变形所贮存应变能U对于具有非线性弹性特征的元件，典型的载荷一位移曲线如图2-6所示。式中：A——元件的横截面积；L——元件长度；应变。图

5、2-7中曲线下面的面积表示了应变能U的大小。曲线上面的那部分面积用表示，称为余应变能。余应变能并无物理意义，它不过纯粹是为了使用上的方便而定义的一个数学量而已。显然，从图2-7也可以清楚地看出，在线弹性情况下，曲线退化为直线，U与相等，应变能和余应变能是完全可以互换的。实际上，式（2-41)中的dU/dP＝u就是大家所熟知的卡氏第一定理，它只适用于线弹性(n＝1)情况。正确的关系式应该是，它无论在线弹性或非线性弹性情况下都是适用的。（五）位移函数表示的梁弯曲变形应变能1.中性层曲率表示的弯曲变形公式

6、(其中可以通过弯矩方程表示为的函数，为曲率半径，它可由和表示)2.由数学3.挠曲轴微分方程(1)4.方程简化，挠曲轴近似微分方程小变形，0.0175(弧度)((1)式分母不再存在)于是2.2变分原理举一个简单的例子，设有一安放在弹性地基上的梁，承受横向分布载荷q(x)的作用。已知梁的一端(x=0)是固定的，另一端(x=L)是自由的。问：梁取怎样的挠度w(x)才能使这个系统(系统是指梁、地基和载荷的总和)的总势能取最小值?系统总势能=梁弯曲应变能+地基变形能+载荷势能具体地，梁弯曲应变能：其中，EJ-

7、----梁的弯曲刚度为，E----材料的弹性模量，J----主惯性矩地基中由于梁的挠度而贮存的能量为其中，-------弹性地基的刚度由于梁的挠度，载荷随之下降而使载荷的势能有了变化。载荷势能的变化可以写成现在，系统的总势能(即上列3者之和)为此时，上述力学问题已经转化为如下数学问题：，求w（x），使它满足边界条件：，，并上述积分定义的泛函取最小值显然，依赖于的变化，不同对应不同，此时，称为自变函数，则称为泛函。(1)能够满足边界条件，的自变函数可以有无穷多个，但同时满足使泛函取最小值的却只有一个，

8、记为。“相当于条条道路通罗马，但只有一条最近”。(2)设在的附近有另一曲线，并令，如果足够小，是一无穷小量，则称是自变函数的变分。(3)注意：微分和变分有本质上的差异。是由于自变量的变化引起，而则是自变量不变，函数本身的微小变化，可理解为函数形式作了微小变化，所以对于泛函来说，是自变函数的小变化。以上问题在数学上可归纳为变分法问题：求泛函满足，边界条件下的极小值所对应函数。（一）定积分的驻立值问题给定问题：求，，使它满足边界条件：（1）；（2）泛函取极值。分析过程：假