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1、1.4角平分线(2)在角平分线上的点到角的两边的距离相等．在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.回忆：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫这个角的角平分线1、角平分线的定义？3、角平分线定理？3、角平分线的判定？性质的应用格式定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.常用来证明两条线段相等的根据之一.COBAPDE在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.几何语言：∵PD=PE,PD⊥OA,
2、PE⊥OB,垂足分别是D,E∴点P在∠AOB的平分线上经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)判定的应用格式3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等.老师期望:养成用数学解释生活的习惯.C●D●ABOEFDEN作法：1、作线段CD的中垂线EF2、作角BOA的角平分线ON，交直线EF于点P点P即为所求P4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF证明∵PD⊥OA,PE⊥OB，∠BAD=∠CAD∴OF=OE在Rt△B
3、ED和Rt△CFD中OF=OEBD=CD∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)∴BE=CF作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？（要求尺规作图）亲历知识的发生和发展结论:三角形三个角的平分线相交于一点.你能证明这个命题吗?PABCMN命题:三角形三个角的平分线相交于一点.怎么证三条直线交于一点基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P∵BM是△ABC的角平分线,点P在
4、BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.怎么证三条直线交于一点PABCMN∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.DEF∟∟∟定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据之一定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.三条中垂线的交点外心三条中线的交点
5、重心三条角平分线的交点内心在△ABC中,∵BM，CN，AQ分别是三个内角的平分线∴BM，CN，AQ相交于一点P,且P到三边的距离PD=PE=PFPABCMNDEF∟∟∟Q几何的三种语言例如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC考察了1、角平分线性质的应用格式2、等腰直角三角形的特点3、勾股定理的应用定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分
6、线上.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).小结拓展习题1.9独立作业11.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD∵∠B=30º,∠C=90º,∴∠BAC=60º，∵AD是Rt△ABC的角平分线.∴∠BAD=∠DAC=30º，∵∠C=90º∴AD=2CD∵∠B=∠BAD=30º∴BD=AD=2CD习题1.9独立作业11.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD过
7、点D作DE⊥AB，∵DC⊥AC，AD是Rt△ABC的角平分线∴DE=DC在Rt△BED中，∠B=30º，∴BD=2DE=2DC，E习题1.9独立作业22.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.ABCFDEMNP过点F分别作FM⊥AD，FN⊥BC，FP⊥AC，∵BF是∠DBCD的角平分线，且FM⊥AD，FN⊥BC∴FM=FN又∵CF是∠BCE的角平分线，且FN⊥BC，FP⊥AC，∴FN=FP∴FM=FN=FP∵FM⊥AD，FP⊥AC∴点F在∠DAE的平分线上.习题1.9独立
8、作业33.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO∵PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠OCP=∠ODP=90º又∵OP是∠AOB的角平
