n阶方阵高次幂的计算方法

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1、第21卷2期四川文理学院学报2011年03月Vol．21No．2SichuanUniversityofArtsandScienceJournalMar．2011＊n阶方阵高次幂的计算方法余跃玉(四川文理学院数学与财经系，四川达州635000)摘要:从相似对角化入手，给出了矩阵高次幂的一般求法，运用多项式理论，给出了降次的求法，最后针对一些特殊矩阵给出了一些特殊的、巧妙的求幂方法．关键词:n阶方阵;幂;Hamilton－Cayley定理;特征多项式;最小多项式中图分类号:O151．21文献标志码:A文章编号:1674－5248(2011)02－0022－03方阵求高次幂的问题是高等代数中的常见

2、问题之æ1öæ－1öæ2ö［1］［2］ç÷ç÷ç÷一，也是学习矩阵函数的基础之一．目前，已有很多学k12，k21，k34ki≠0(i=1，2，3)ç÷ç÷ç÷［3－5］èøèøèø者对矩阵高次幂的求法进行了研究，但是其方法都很211凌乱．本文首先从相似对角化入手，给出了矩阵高次幂的æ1－12öæ100öç÷－1ç÷一般求法．为了避免求特征向量，本文又利用Hamilton－令P=214，则PAP=Λ=020，ç÷ç÷Cayley定理和最小多项式理论将高次幂降为低次幂，从而è211øè00－1økk－1使求幂过程得以简化．所以，A=PΛP－1æ1－12öæ100öæ1－12ö1利用相似对角化，将

3、n阶方阵化为对角阵=ç214÷ç02k0÷ç214÷ç÷ç÷ç÷è211øèkøè211ø此法适用于有n个线性无关的特征向量的n阶方阵00(－1)A，因为这样的矩阵可对角化，即一定存在可逆矩阵P，使k+1kkkæ1－2－1－2+2·(－1)2－2·(－1)ö－1kk－11çk+1kkk÷得PAP=Λ，从而易得A=PΛP．=2－2－2+2+4·(－1)4－4·(－1)．3ç÷554èk+1kkkøæ－ö2－2－2+2+(－1)4－(－1)ç333÷ç248÷k2用Jordan标准形计算矩阵高次幂例1设A=ç－3－33÷，求A．ç÷ç215÷利用对角化的方法求矩阵的高次幂虽然比较简单，然－－è3

4、33ø而并非所有的方阵都可对角化．对于一般的n阶矩阵来解:因为说，有:λ－55－4定理1、每个n阶复矩阵A都与一个n阶Jordan矩阵333［1］－1J相似．即存在n阶可逆阵P，使得PAP=J．248－kk－1

5、λE－A

6、=λ+=(λ－1)(λ－从而易得A=PJP．可见，该方法更具有一般性，应333用它可计算任何n阶矩阵A的高次幂及矩阵函数．215λ－333æ－110ö2)(λ+1)例2求矩阵A=ç－430÷的n次幂ç÷可得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=－1è102ø且A属于这三个特征值的特征向量分别为:解:由于*收稿日期:2010－11－02作者简介:余跃玉(1969—)，女，

7、四川达州人．讲师，硕士，主要从事计算数学研究．22余跃玉:n阶方阵高次幂的计算方法2011年第2期nn－1æλ+1－10ö项式，则f(A)=A－(a11+a22+…+anm)A+…+λE－A=ç4λ－30÷→(－1)n

8、A

9、E=0．ç÷è－10λ－2øæ100ö100ç÷1000æö例3设矩阵A=101，求A．ç÷ç010÷è010øç÷è2ø00(λ－2)(λ－1)解:方阵A的特征多项式为f(λ)=

10、λE－A

11、=(λ－21000æ200ö1)(λ+1)，其特征值为1(二重)和－1，设λ=q(λ)f所以，A与Jordan矩阵J=ç011÷相似．(λ)+αλ2+bλ+cç÷è001ø则有我们令

12、其相似变换阵为可逆矩阵P=(x1，x2，x3)，因a+b+c=1－1为PAP=J，所以有:{a－b+c=1，æ200ö2a+b=1000A(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)ç011÷解得:a=500，b=0，c=－499ç÷èø10002001即，λ=q(λ)f(λ)+500λ－499100022=(2x1，x2，x2+x3)所以，A=q(A)f(A)+500A－499E=500A－即有，æ100ö(2E－A)x1=0，(E－A)x2=0，(E－A)x3=x2499E=ç50010÷．ç÷Tèø解这三个线性方程组可得特征向量x1=(0，0，1)，50001T［2］Tnx2=(1，2，

13、－1)及广义特征向量x3=(0，1，－1)，所以用该方法计算A的优点是:求出A的特征值后不必有再去求对应的特征向量，这样不但方法简明、计算量小，而æ010ö且具有一定的普遍性．P=ç021÷3．2利用最小多项式理论将矩阵的方幂降次ç÷è1－1－1ø定义1:首项系数为1、次数最小且以A为根的多项式－1又因为PAP=J，所以，m(λ)称为A的最小多项式．mæ200ö由于矩阵A的最小多项式m(λ)整除以A为根的任m