数学学年论文毕业论文方阵n次幂的计算方法

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1、n2r/所以T'1AT=4-342、43丿/(101、-2=Bfl则ba=000、0(-5/J方阵n次幕的计算方法摘要：特征向量是高等代数中的重要环节，本文将用特征向量介绍两求解矩阵幕A”的方法关键词：特征向量方阵n次幕初等因子引言：矩阵在代数特别是线形代数中是一个主要的研究对象，通过-•般特征向量的认识，來讨论矩阵的n次幕的方法，以助于其它相关学科的推进和提高。下面从实的方阵的幕来探讨以下复的方阵的幕42、例：设A=0-34求A*<043）A-1-4-2解:AE-02+3-4=（兄一1）（/1一5）（2+5）0-42—3所以人=1,=5,久3二=-5属

2、于特征值1的特征向量为匚=斫屈丁•特征值5的特征向量为二=2斫+匂+26属于特征值・5的特征向量为^3=^-2^2+^3<1010‘12A*二tbT】=01021V1o205*1八00‘12・5计+(-1严=05a_,[1+4(-1)2・5讨1+(-1严5讨4+(—1)]12•5计+(—l)z5a_1(4+(-l)A]这是求实的方阵n次幕的最常用的一种方法，即找到一可逆阵T,使得原方阵AT'1AT变为一数量阵B,从而由B*可求出A",以下给出关于复数上的方阵幕的求法定义1：设A为m阶方阵，(bJbKKb)是A的屈于其特征根2的特征向量，5心,44J为

3、m个复数，则称方阵??KKb2C2KKh.Cmb2c2KKb2cmKKKK0)b,nC2为由*(C],C2，K5)确定的A的属于其特征根的特征向量Q(勺上2KK饥)的特征矩阵。显然，特征矩阵(1)随复数C

4、,C2,44J的取值而定，它具有下述重要性质定理1若C是由“仏心KKs)确定的方阵A屈于其特征根2的特征向量G=(»b2，KKbJ丁的特征矩阵，则AC=2C.证明：设A为m阶方阵，G=6，E，KK饥厂是A的属于其特征根2的特征向量，由＜2=(cp^KKc^)确定的A的屈于Q的特征向量G=(b、，S，KKbJT的特征矩阵C为(1)I大I为(4—刀)$二0,

5、所以AC二2C下面给出m阶方阵有m个线性无关的特征向量时所有特征矩阵的一种确定方法。定理2设C],C2,44c加是m阶可逆方阵A的m个特征根入，«，卜卜九的线性无关向量IVIV的特征矩阵，则它们由c]+c2+0iv+cm=A(2)完全确定。biXci$25c.=「K向量(i=l,2,44m).由(2)知:bS勺2%Kbimci2KKKKEgb/imK这里5是A的属于其特征根&的特征b17-c氏+b纣c+44b呵cmk=aA(j,k二1,2,”4m)(3)“21KKKKK则关于Cjk(i,k=l,2ivIVm)的线形方程组(3)化为:/、5、/、akC2

6、ka2kKKJ”伙)amk丿D因G，5■线形无关，故D为可逆方阵。所以/、Ck'/、akC2kK=D_1a2kKCmk丿(k=l,2,44m)(4)a\aiKci{m、(ja2a22K02m,r-bi2KKKK，5/-Ka,n2Kamrn}证明：令A二口J见，C],C2,44C加曲(2)完全确定。卜•面导出有m个线形无关懂得特征向量的m阶方阵次幕的计算公式。定理3若A为m阶可逆方阵，C

7、,C2，“J分别是属于特征根人，久2,IVIV4的特征向量G，：2，“的特征矩阵，则A"=XA(n屈于N)(5)这里C[,C2,44Cm由C1+C2+44

8、+cm=A完全确定。证明：有定理2知，特征矩阵C],C2,44由5+C2+44+C,”=A完全确定,且由次知(3)当n=l时成立。假设n=k时，(3)成立，则人“二工人㈠"则n=k+l由定理1知Ac严人c,(I=l,2^4m),所以A如•A*二A•工；10(入5)=工久「一乜综上知(3)成立。由上述结论可知，有m个线形无关的特征向量的m阶方阵A的n次幕计算方法是：第一步：求A的特征根人及其线形无关的特征向量匚(1=1,2,4401)。第二步：由G确定方阵D及其逆矩阵D-1。第三步：运用(4)定出j(i,k=I,2,wm),从而定岀特征矩5(1=1,2,40

9、1).第四步：运用(5)求出A"这种方法称为特征向量法。矩阵方程组：由于特征矩阵5，C2，iV也可以通过解线形(6)工q二A,为二A?,04工&m~]ci而完全确定，因而对A"的计算方法又有：第一步：求A的特征根入及A'(1=1,2,wm)・第二步：解线形矩阵方程组(6)定出特征矩阵5(1=1,2,wm).第三步：运用(5)求出A"。这种方法称为待定矩阵法。下面给出几个例题:fi00'例1：计算矩阵A=01-1,求出A"。10-ii-A00解(一)：(特征向量法)：由01-1=0得其特征根人=1,10-i兄2=i,兄3=亠其特征向量为:P、(2+2八'0、

10、G=1，1'<3=1Au-u<1+C<02+2/0、D=111<0