一道赛题作为题根的精彩演绎

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1、2013年第5期数学教育研究·63·一道赛题作为题根的精彩演绎王淼生(福建省厦门市第一中学361003)木有本，水有源，题有根．中学一线数学教师将那≥．些来源于基础，又高于基础；提炼于解题实践，又能够广泛应用于解题研究的优秀试题称为题根．依笔者肤注：本题作为一道著名的试题，散落在各类期刊杂浅理解：题根可以是大家熟知的定理、公式本身(或其志上出现过很多不同的证法，此处采用代数恒等变形变式)(如文[1]、文[2]、文[3]、文[4])，可以是教材典得到一个意外的收获，即这道大家熟悉的第2届世界型例题、习题本身(或其变式、推广)(如文[5]、文I-6])，“友谊杯”竞赛试

2、题与1963年莫斯科数学奥林匹克试也可以是质检试题、模拟试题、高考试题本身(或其引题原来是等价的，即①与②本质上一样．申变形)(如文[7])，还可以是国际竞赛试题本身(或其例2(《数学教学}2013年第4期数学问题877)拓展、推广的结论)(如本文)．令人不可思议的是：题根在锐角△ABC中，求证：可以是人们最为熟悉的日常生活常识(如糖水不等式cosAcosBcosBcosCcosCcosA~3——————cosC。cOsA‘cOsB，，2’题根，如文[8])、最原始性结论(实数的平方非负，如文[9])，甚至是不屑一顾的最基本性质(如三角形中两边证明：利用余弦定理可得

3、所证不等式等价于(G+c2-a2)(c2@az-b2)之和大于第三边，如文[1()]、文[11])．尽管题根的“出——±二±二2c(n+62Bc。)2n(62+一n)身”不尽相同，但作为题根都有以下一些突出的特点：(n+b一C)(6+c0一Ⅱ)、3师生熟知、结构简单、形式优美、功能强大．正因为“师‘2b。(c。+n一b)，／2‘生熟知”，因此绝大部分师生或者师生绝大部分时候视注意到上述不等式的特点，采用换元法：设m：而不见；正因为“结构简单”，因此被人“冷落”，很少师(口+b0一f)(6+f一n0)，生或者师生很少舍得花时间与精力开发、研究；正因为一(b+C一口)(

4、C+a一b)，P一(c+n一b。)“形式优美、功能强大”，因此特别具有再利用、再开发(口。+b一C。)，则有的价值．笔者认为题根是师生学习数学，尤其是探究问题、解决问题的“资源”与“财富”，尤其是寻求破解高难_L一->+P+m‘m+，／2’度数学问题的“跳板”与“杠杆”．笔者文[12]有幸刚刚这正是上述题根①．发表在贵刊，本文拟从几个具体例子来说明以下题根例3(全国第三届初等数学研究学术交流会论文(下称①)的应用，如果有幸发表，就当文[12]的姊妹集中的数学问题)在锐角△EFG中，求证：篇，期盼有更多的数学同行一起钻研、开发、挖掘①的墨一-￡!＼旦潜在功能与应用价值

5、：cos(F～G)。cos(G—E)’cos(E—F)2’若口、6、c均为正数，则+±+≥昔．①证明：在上述题根①中，令a—sin2E，b—sin2F，C：sin2G可得上述题根①正是教材(文[13])第43页习题2—1垡至上￡上、、)第15题，其实就是1963年莫斯科数学奥林匹克试题．sin2F+sin2G。sin2G+sin2E‘sin2E+sin2F2’文[12]从初等数学到高等数学的知识、观点出发一共利用三角和差化积公式易得给出17种证明方法．这道经典试题经历半个多世纪洗!堡J_塑￡一-!、>旦礼，时至今日，依然风韵犹存，魅力四射．如今作为我国cos(F～G

6、)COS(G—E)。cos(E—F)2’新课改后教材中的一道习题，足以看出我国新课改教注：上述问题是周永良老师在全国第三届初等数材编著专家的独具慧眼．学研究学术交流会上提出的，当时并未给出证明，利用例1(第2届世界“友谊杯”竞赛试题)若a、b、C上述题根①就对这道初等数学问题给予极其简捷的妙均为正数，则解，赏心悦目．++≥半．②事实上，我们令上述题根①中的a、b、f分别为AABC中的一些值就可以得到一系列有趣的结论，如：证明：由代数恒等变形可得(1)在nABCee，则有+而丽++++(++、三sinA+sinB~2)一(n+6+c)．．(2)在△ABC中，对于∈N，

7、则利用上述题根①即可得证．sin'B+si一f'C-L—sin"Csi+s!i一n"A-。L一si一A+sinnB、，／32‘事实上，我们由上述恒等变形式可得b+J+十+十≥声号㈢+十b2+十C2(3)在锐角△ABc中，则有矗cosA十·64·数学教育研究2013年第5期a3cob上c上】干sB十——cosC一3一＼cosC+c0sA。COsA+cosB~"2．’6+c。c+口n+6，／6’(4)在△ABC中，对于∈N，则有利用最基本不等式：n+b≥2ab的变式：≥2aCOSACOS。BCOSCCOS2nB+COS2nC。COS2nC+COS2ACOS2A+CO