一种广义周期Besov类的多元周期多项式样条逼近

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1、Vol.25(2005)数学杂志No.2J.ofMath.(PRC)一种广义周期Besov类的多元周期多项式样条逼近*许贵桥(天津师范大学数学科学学院,天津300074)李同胜(廊坊师范学院数学系,河北廊坊065300)

摘要:本文证明多元多项式周期样条空间是某些多元周期光滑函数类的关于Kolmogorovn-宽度的弱渐近极子空间.给出了广义周期Besov类的一种推广,得到了空间元素的一种表示定理,不仅给出了一种多元周期多项式样条算子.而且证明了所得的结果.

关键词:广义周期Besov类;多元周期多项式样条逼近;Kolmogrovn-宽度.

MR(20

2、00)主题分类号:41A44,41A46



中图法分类号:O174.41

文献标识码:A



文章编号:0255-7797(2004)02-0151-061
引言dd令Lp(T)(1
p
,T=[0,2
])表示普通的2
周期Lp空间.设k
N,h
R.对d任意f
Lp(T),kkl+kk
hf(x)=
(-1)f(x+lh)(1.1)l=0lk为f(x)在点x步长为h的k阶差分.当h=(0,
,0,hj,0,
,0)时,用
hf(x)代替jk
hf(x).f的k阶光滑模
k(f,t)p定义为k
k(f,t)p
=sup

hf
p.(1.2)

3、h

4、

5、
t

类似于文[1]和[2],我们给出下列定义.*定义1
设
为定义在R+={t
t
0}上的非负函数.称
(t)

k,若
(t)满足:(1)
(0)=0,且当t>0时,
(t)>0;


(2)
(t)是连续函数;(3)
(t)是几乎单调升的,即,对任意t,
满足0
t

,成立
(t)
C
(
),其中C
1为与t,
无关的正数;k(4)对任意n
Z+,
(nt)
Cn
(t).其中k>1为自然数,C>0为与n,t无关的正数;
(5)存在
>0使得
(t)/t是几乎单调升的;
(6)存在0<
0使得对

6、任意t,
满足*收稿日期:2002-11-03



接收日期:2003-05-26基金项目:国家自然科学基金项(10471010);天津市高等学校科技发展基金项目(52LD47);天津师范大学青年基金资助项目(5RL004)作者简介:许贵桥(1963-),男,河北栾城县,教授,博士,研究方向:函数逼近论.152数

学

杂

志












Vol.25


0

7、1
td)时,[1]和[2]分别讨论了Hq(T)和Bp
(T)的三角多项式逼近与Kolmogorovn-宽度.考虑到w(

8、t

9、)具有与
(t1
td)完全不同的性质,我们将引入另一种广义周期Besov类.*
d定义2
设k
N,
(t)

k,1


,且1
p
.称f
Bp
(T),若f满足条件:d(1)f
Lp(T);(2)+

1/

k(f,t)pdt<
,1

<
,
0
(t)t
f

db(T)=p

k(f,t)psup<
,
=
.t>0
(t)
d

线性空间Bp
(T)赋以范数
f

d
dBp
(T)
=
f
p+
f
bp
(T

10、)r
drd成为线性赋范空间.当
(t)=t时,Bp
(T)即为普通的2
周期Besov空间Bp
(T).令
ddSp
(T)
={f
Lp(T)

f
B
(Td)
1}.p
rd

S.M.Nokilskii[3]得到了周期Besov类Bp
(T)的表示定理,本文将把它推广到上述定义的广义Besov类上.对m
N,设
m2mVm(t)=1+2
coskt+2
((2m-k)/m)cosktk=1k=m+1d为delaVall
ePoussin核.多维delaVall
ePoussin核定义为
Vm(x)
=
Vm(xj).j=1d

对f
Lp(T),令

11、Vmf
=f*Vm为f的delaVall
ePoussin和.delaVall
ePoussin和的连续差定义为
ss-10f
=V1f,
sf=V2f-V2f,s=1,2,
(1.3)*
dd

定理1
设k
N,
(t)

k,f
Bp
(T),则f在Lp(T)收敛意义下可表示为级数
f=

ss=0
1/


s
p
-s,1

<
,+
(2)s
Z且
f

dB(T)(1.4)p


s
psup-s,
=+
.s
Z+
(2)ddd

对W
Lp(T),用dn(W,Lp(T))表示W在Lp(T)中的Kolmogorovn-宽度(定义见[4]).许

12、多作者如A.S.Romaniuk[5],[6],[7