由内接三角形引发的思考

《由内接三角形引发的思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、11-36数学教学2014年第1l期由内接三角形引发的思考351040浙江省宁波市十九中学蒋国刚黄伟建1．问题的源头(11在A日上取一点P，作PF上DA于如果一个三角形的三个顶点在一个封闭点F：图形的边界上，那么我们把这个三角形叫做(2)在o上截取OD=PF，在DB上截这个封闭图形的内接三角形．例如正方形有取OE=DF；(3)顺次连结PD、DE、EP．内接正三角形，直角梯形有内接等腰直角三△PD就是所求作的等腰直角三角形．角形．笔者对直角梯形中的内接等腰直角三由作法可知，符合条件的三角形有无穷多个．角形(如图1)产生了兴趣，图中ZB=ZC=

2、90。，2．3问题再拓展且A日+D：BC，那么线段BC上存在唯一若将问题1中的直角扇形补成圆，扇形两一点P，使△PD为等腰直角三角形．条互相垂直的半径变为直线m和直线n，可作出等腰直角三角形PDE，使点P可以在圆上D任意移动，直角的顶点D和另一顶点E分别在直线m和直线上(如图3)．，I。PC图1f1一．2．扇形的内接等腰直角三角形2．1提出新问题如果将直角梯形换成直角扇形会如何呢?直角扇形是否有内接等腰直角三角形?是否唯E一?图3问题1已知直角扇形(二)，求作：等腰于是便有了下面的问题．直角三角形PDE，使直角的顶点D在扇形的问题2已知圆和

3、两条互相垂直的对称轴一条半径上，另两个顶点分别在该扇形的另一m、佗，求作等腰直角三角形PD，使点P在圆上，点D、E分别在m、n上，且PD=DE，条半径和圆弧上．PDE=90。．2．2解决新问题为了实现点P在圆上任意移动时都有满作法f如图2)：足条件的△PDE，笔者在几何画板中设计出作法(如图4，以下所有作图均在几何画板中进行)：／一Q，，约、DD图2图42014年第l1期数学教学．f1-37(1)在圆上任取一点P，直线m上任取一点Q，作APQR，使／PQR=90。，QP：QR；／一。(2)作点R关于点Q的轨迹，交直线佗于点E：(3)作PE的

4、中垂线，交直线m于点D；△PDE就是所求作的三角形．当点尸在圆上移动一周时，△PD始终是满足条件的等腰直角三角形．显然满足条件图5—2的等腰直角三角形PDE有无穷多个．3．圆的“友好三角形”及其性质为了叙述方便，我们给出一个定义．，，、3．1定义1已知圆和圆的两条互相垂直的对称轴m、n，我们把三个顶点分别在圆、直线m、n上的≮．n三角形叫做这个圆的“友好三角形”．P如图3、图4中的△PDE就是圆的友好图5-3三角形．3．3探究特殊点的轨迹3．2圆的友好等腰直角三角形的面积如图5-1，当点P在圆上移动时，△PDE由问题2的作法可知，当点P在圆

5、上移动上及内的点均在运动，有没有一些特殊点，其时，△PDE的面积有最大值和最小值．轨迹也比较特殊?经过几何画板实验发现，内问题3o《二)的半径r=2，APDE是o(二)心和重心的轨迹是椭圆，外心的轨迹是线段．的友好三角形，点D在直线m上，APDE=90。，DP=D，△PD面积为S，求的最大笔者就外心的轨迹研究如下：(小)值．问题4在半径为r的圆的等腰直角友好解：如图5—1，取DE中点F，连结OF、三角形PDE中，直角顶点D在直线m上，斜PF、0P，设《=)F=，则DE=DP=2x，边PE中点M的轨迹是什么?轨迹长是多少?PF=、，／5，由l

6、PF—FOI≤OP≤PF+FO，解：如图6，由《二)四点共圆知E(二)M=AEDM：45。，故点M的轨迹是得(、／丐一1)z≤2≤(Vr5-F1)x，即≤≤线段．又设点P坐标为(X，)，易得点M坐标x／5-F．1—一因为：2x2，所以i：3一，，是(＼寺二，一言／)，≤，M点轨迹长为．Sm越=3-+-．IM‘o图64．圆的等边友好三角形2)，OE是黄金比将等腰直角三角形变为等边三角形后，情一D是日(二)的黄金分割点．，形又如何呢?我们再来探索圆的等边友好三角当取得最大值时(图5—3)，面OD是黄金比，形应如何作图，有何性质．4．1圆的等边友

7、好三角形作法．f1-38数．学教学2014年第11期(2)APDE中心的轨迹是以点0为圆心，为半径的圆．①当P、G、O三点共线时，易证OP=OG：x／3，r；②当P、G、OZ点不共线时(如图9)，图7作APDE的中线PM，连结OM．(1)在圆上任取一点P，在直线m上任取一点Q，作等边APQR(如图7)；(2)作点R关于点Q的轨迹，交直线礼于点E：(3)将点E以点P为旋转中心，顺时针旋转60。至D．△PD就是所求作的三角形．图94．2圆的等边友好三角形的性质DF=20M，因为点G是等边△PDE的研究的方法与内容与上面一样．首先是边中心，O—M

8、—：G—M—：===、／3，ZPMO：=长的极值问题，在几何画板中拖动点P，发现ZOMG，故△PM(二)△OMG．等边三角形的边长在一定范围里变化：其次是故OP：：故一GM===