资源描述：
《专题四知能演练轻松闯关》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.(2010·高考陕西卷)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP＝AB,BP＝BC＝2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明:EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.解:(1)证明:在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.∵四边形ABCD是矩形,∴BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA,交AB于点G,则EG⊥平面ABCD,且EG＝PA.在△PAB中,AP＝AB,∠PAB＝90°,BP＝2,∴AP＝AB＝,EG＝.∴S△ABC＝
2、AB·BC＝××2＝,∴VE-ABC＝S△ABC·EG＝××＝.2.已知四棱锥P－ABCD及其三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；(3)若点E为PC的中点,求二面角DAEB的大小.解:(1)由三视图可知,四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC＝2,∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PC＝×12×2＝,即四棱锥P－ABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.证明:连接AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∵PC⊥底面ABCD,且BD平面P
3、AC.∴BD⊥PC.又∵AC∩PC＝C,∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC,∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内,过点D作DF⊥AE于F,连接BF.∵AD＝AB＝1,DE＝BE＝,AE＝AE＝,∴Rt△ADE≌Rt△ABE,从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角.在Rt△ADE中,DF＝＝＝BF,又BD＝,在△DFB中,由余弦定理得cos∠DFB＝＝＝－,∴∠DFB＝120°,即二面角D－AE－B的大小为120°.3.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.(1)求
4、证:平面B1MN⊥平面BB1D1D；(2)在棱DD1上是否存在点P,使BD1∥平面PMN？若存在,确定点P的位置；若不存在,说明理由.解:(1)证明:如图所示,连接AC,则AC⊥BD.又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC.∴MN⊥BD.∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN平面ABCD,∴BB1⊥MN.又∵BD∩BB1＝B,∴MN⊥平面BB1D1D.又∵MN平面MNB1,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.(2)存在这样的点P,并且DP∶PD1＝3∶1,即点P是靠近点D1的线段D1D的第一个四等分点.设MN与BD的交点是Q,连接PQ,则平面BB1D
5、1D∩平面PMN＝PQ.当BD1∥平面PMN时,根据线面平行的性质定理,BD1∥PQ,∴DQ∶QB＝DP∶PD1＝3∶1.4.如图(1)所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝AD,∠ABC＝60°,E是BC的中点.如图(2),将△ABE沿AE折起,使二面角BAEC成直二面角,连接BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.(1)求证:AE⊥BD；(2)求证:平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由.解:(1)证明:取AE中点M,连接BM,DM.∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝AD,∠ABC＝60°,E是BC的中点,∴△ABE与△ADE
6、都是等边三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE.∵BM∩DM＝M,∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.(2)证明:连接CM,与EF交于点N,连接PN,MF,∵ME⊥FC,且ME＝FC,∴四边形MECF是平行四边形.∴N是线段CM的中点.∵P是线段BC的中点,∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.又∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直.证明如下:假设DE⊥平面ABC,则DE⊥AB.∵BM⊥平面AECD,∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B,∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE,这与∠AED＝60°矛盾.∴DE与平面ABC不垂直.
7、5.在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB＝3,AD＝2,PA＝2,PD＝2,∠PAB＝60°.(1)证明AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小；(3)求二面角P－BD－A的正切值的大小.解:(1)证明:在△PAD中,由题设PA＝2,AD＝2,PD＝2,可得PA2＋AD2＝PD2,于是AD⊥PA.在矩形ABCD中,AB⊥AD,又PA∩AB＝A,所以AD⊥平面PAB.(2)由题设,BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)
