论向量积在高维空间的推广

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1、第3O卷第3期大学数学Vo1．30，№．32014年6月COLLEGEMATHEMATICSJun．2014论向量积在高维空间的推广刘海峰(上海海洋大学信息学院，上海2o1306)[摘要]探讨了3维欧氏空间的向量积在高维空间推广的可能性．在三条假设下推导出高维空间中的向量积所应具备的若干性质，证明了在某些意义下向量积仅存在于碾。，并举例说明与。中向量积不同的根源．[关键词]欧氏空间；向量积；三重矢积；维数[中图分类号]0151．24[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)03—0074-051引言在向量代数中，对。中的两个

2、向量定义了两种乘法：数积和向量积，也分别称为向量的点积和叉积(或内积和外积)．其中两个向量的数积可以自然地推广至高维空间，并保有3维空间中的运算性质和几何意义，有着广泛的应用．一个自然的想法是将向量积也推广至高维空间．为此，许多作者沿着不同的方向做了有益的尝试(见文献[1—5])．文献[1]将欧氏空间瓞。的结果推广至，其定义的外积是一个碾×璁一的代数运算．文献[2，3]定义的外积是×一的二元代数运算，本质上是[1]中外积定义的推广．虽然文献[z3指出。中三个向量的双重矢积在高维(n>3)空间不存在，但其理由(高维空间中的外积不再封闭)并不充

3、分，至多说明那里所定义的外积不能推广至高维．事实上，对一7就可以定义封闭的外积(见本文末)．而文献1-33虽然指出凰。的向量积不能直接推广至，但却没有给出证明．文献[4]对向量积所做的定义与3维空间的最为接近，但是定义中“口×n。与口。，口张成的平面垂直，且三个向量构成右手系”的合理性并非显而易见．该文作者忽略了这样一个事实，即按照其对向量夹角所做的定义，高维空间中与两个线性无关向量张成的平面垂直的方向不止一个．例如在飓中，与e1一(1，0，0，⋯，0，0)，口2一(0，1，0，⋯，0，0)张成的平面垂直的向量有e。=(0，0，1，⋯，0，

4、0)，⋯，es一(0，0，0，⋯，1，O)，P一(O，0，0，⋯，0，1)等多个．因此，那里所定义的向量积实质上是不确定的．严格地讲，文献[3—5]中所做的是3维空间中混合积的自然推广，而不是向量积的推广．因而，上述文献中所作的推广均不可能具备3维欧氏空间中向量积的性质．事实上，文献[6]证明了向量积仅存在于3维欧氏空间．该文用到了微分流形和张量分析中较艰深的核心结论，起点较高．本文尝试对向量积在高维空间的推广问题做个清晰的回答．首先用较初等的方法推导了维空间的向量积所应具备的若干性质，证明了符合式(1)，(2)，(3)以及式(8)的向量积

5、存在于。，然后指出符合式(1)，(2)，(3)的向量积可推广至，给出了该空间下坐标轴上基向量之间的向量积运算法则，并且指明这是向量积在高维空间唯一可能的推广．2预备知识首先回顾与数积和向量积有关的基本概念．[收稿日期]2o12—03—09[基金项目]上海高校选拔培养优秀青年教师科研专项基金(ssco9o24)；上海海洋大学博士科研启动金第3期刘海峰：论向量积在高维空间的推广75定义1碾。中向量的数积“·”为二元运算．对V口，6∈。，口·6一IaII6IcosO，其中Ial为向量a的模，为向量a和6所成的角．定义2。中的向量积“×”为二元运算

6、．对Va，b∈。，口×6为。中的向量，其模为la×l==：IaI1lsin0，当a，不共线时，其方向与a，垂直，且口，b，口×b构成右手系．可以证明，以上定义的两种乘法均是双线性的，并且数积是可交换的，而向量积是反交换的，即口·6—6·a，a×一一6×口．且a·口一IaI；当且仅当a，6平行时有a×b=0．设a=(口，n，a。)，6一(6，b，b。)，则二者的数积可用坐标表示为口·6一口1b1+azb2+a3b3．向量积可表示为a×6一(口2b3一a3b2，a3b1一n1b3，a1b2一a2b1)．后者也可形式地写成行列式的形式IIa×6=

7、la1a2口3l，Ib1b2b3I其中，P，分别为碾。中三个坐标轴正方向上的单位向量．众所周知，3维空间中数积的概念可以自然地推广至任意维空间凰(≥2)，即对Va一(口1，口2，⋯，a)，6一(61，b2，⋯，b)∈”，二者的数积为n·b=a1b1+口2b2+⋯+nb一∑alb1．i=1当a，均为非零向量时，它们所成角的余弦为口·6∞一丽3主要的推导过程我们要证明的结论是：并非对任意的≥3都可以定义中的向量积．因此，实际上没有办法给出中向量积的严格定义，只可以用反证法．假设中可定义运算封闭且双线性的向量积，则期望该向量积至少应符合如下的运算

8、性质：口×口一0，(1)fa×I—laI×If，当a·b=O，(2)(口×6)·口：0，(3)其中式(2)成立的条件即两向量a，6垂直．式(3)中的括号可以去掉而不至于引起歧义，