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1、第27卷第4期东华大学学报(自然科学版)Vol.27,No.42001年8月JOURNALOFDONGHUAUNIVERSITYAug.2001我国证券市场波动的Hurst指数高红兵潘瑾陈宏民(上海交通大学管理学院,上海,200030)摘要证券市场的波动不服从布朗运动,而服从分数布朗运动。Hurst指数是描述分数布朗运动的重要指标。利用R/S分析方法计算出我国证券市场收益率序列的Hurst指数为0.68。从而说明我国证券市场的波动具有明显的持久性。关键词:Hurst指数,分数布朗运动,R/S分析,证券市场,有效市场假设中图法分类号:F832
2、.5布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。布朗运动是一个特殊的随机过程。考虑在x轴正是在这一假设下,才有了著名的期权定价理论。但上随机行走的微粒,每隔秒跳跃的步长为+或是,人们发现证券市场的运行并不遵循布朗运动,而-,设步长服从正态分布[1]是服从更为一般的分数布朗运动。Hurst指数是描21p(,)=exp-(1)述分数布朗运动的重要指标。布朗运动的Hurst指数2!2为0.5,分数布朗运动的Hurst指数不等于0.5。当nHurst指数大于0.5时,系统表现出持久性,对证券市则t=n时间后,微粒的位移为x(n)=i。当i=
3、1场来说,即若上一阶段指数是上升的,则下一阶段指时间步长趋于无穷小时,离散变量x就成为连续的随数上升的可能性较大,而且随着指数的增加,这种持机过程布朗运动,用B(t)表示,也叫维纳过程久性也逐渐增强。当Hurst指数小于0.5时,系统具有(Winer)。维纳过程是独立、平稳增量过程,且B(t)的反持久性,即上一阶段指数是上升的,则下一阶段指增量服从Gauss过程。数极可能下降。可见,Hurst指数是研究证券市场波动对式(1)进行标度变换,^=∀0.5,^=∀,得:的重要指标。p(^,^)=∀-0.5p(,)(2)0.5表明当时间标度增大∀倍
4、,长度标度增大∀时,布朗1分数布朗运动与Hurst指数随机过程的概率密度函数增大∀-0.5。因此,布朗运动的概率密度函数具有标度不变性。Hurst是一个水文工作者,他长期研究尼罗河流量对布朗运动进行非整数微积分可得分数布朗运的变化,以决定水库的排水量。在多年的水文数据动。Mandelbrot给出了分数布朗运动BH(t)的表达中,他发现数据不服从布朗运动及正态分布的特性。式为:而且如果有一年水量较大,次年的水量也往往较大。1x在布朗运动中,数据的方差与观察时间间隔t成正BH(t)=K(t-t#)dB(t#)(3)#(H+0.5)!-∀2H[2]比
5、。Hurst却发现河流数据的方差与(t)成正比,式中积分核其中,H后来称为Hurst指数。对特殊情形H=0.5H-0.5时,就是布朗运动,但一般情形H并不等于0.5。此K(t-t#)=(t-t#)0∃t#∃t(t-后,Hurst发现一大类自然现象随时间演化的行为都不H-0.5-H-0.5t#)(-t#)t#<0(4)能用布朗运动刻划,即2H都不是整数,因而称为分数布朗运动。式(3)其实是对布朗运动求H0.5阶积分。因此,对收稿日期:200005034期高红兵等:我国证券市场波动的Hurst指数23于布朗运动成立的规则,质点的位移与时间的平
6、方根比布朗运动波动更加剧烈,这意味着其分形维数大于成正比,相应与分数布朗运动就变成位移与时间的H布朗运动的维数。次方成正比。另外,式(3)积分一般是发散的,但增量BH(t+2我国证券市场收益率序列的t)-BH(t)是有限的,是平稳、相关的随机过程。而Hurst指数且,分数布朗运动具有长期相关性。因为H%0.5时,观察值之间不独立。每个观察值对于发生在其前面Hurst指数可由R/S统计法确定。这种方法是的时间有一定的记忆。这种记忆能够表示长期记忆,Hurst长期研究尼罗河的流量变化后提出的。为了合理也就是分数布朗运动的长程相关性,特别是它的未来控
7、制水库的泄水量使其保持不枯不溢的理想状态,Hurst增量与过去增量BH(-t)是相关的:给定从-t到0测算了水库蓄水量随时间在平均水平附近波动的范围。的过去增量BH(0)-BH(-t),就平均而言在过去增Hurst用这个变动范围除以观察值的标准差得到一个无量的分布中含有未来增量BH(t)-BH(0)的概率是:量纲的量,使不同的序列具有可比性。这种分析称为重[3]EBH(0)-BH(-t)BH(t)-BH(0)(5)标极差法(rescaledrange),也称R/S法。Rn是一个时间序列中n个数据偏离其均值的累如果令BH(0)=0,则未来增量BH(t
8、)与过去增量加值的极差,称为n个数据的极差,表示时间序列最BH(-t)间的相关函数可以写为:大的变化范围;Sn是时间序列的
