等差数列的前n项和与等比数列

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1、等差数列的前n项和与等比数列1、等差数列前n项和Sn的表示形式：可见：（1）当d≠0时，Sn是关于序号n的二次函数，且二次函数的常数项c=0，其公差d=2a（二次项系数的二倍），点（n，Sn）分布在过原点，对称轴垂直于x轴的抛物线上.（2）∵，∴数列为等差数列且公差d=a，点均匀分布在直线y=ax＋b上.2、当n为奇数时，Sn=na中（a中为前n项中的中间项），S奇－S偶=a中（S奇为前n项中所有奇数项的和），.当n为偶数时，为中间两项），3、等比数列的定义可用递推公式表示为：（n∈N*，q为常数）.可见：（

2、1）等比数列中每一项不为零（即an≠0）.（2）等比数列公比q≠0.（3）非零常数列既是等差数列，又是等比数列，其公差d=0，公比q=1.4、等比数列通项公式：an=a1qn－1.5、等比中项：若a、G、b为等比数列，则G为a、b的等比中项.可见：（1）G为a、b的等比中项（G≠0）.（2）仅当a、b同号时，才存在等比中项.（3）等比中项G不唯一，即.（4）G2=ab是a、G、b成等比数列的必要条件，并不是充分条件.6、等比数列的相关结论（1）任两项之间的关系：am=anqm－n.（2）相邻三项之间的关系：a

3、n＋1·an－1=an2.（3）若q≠1，则.难点知识剖析1、等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数（d≠0），而且常数项为零，这是等差数列前n项和公式的形式特征，我们可以根据这个特征，判断不可能是等差数列的前n项和，利用Sn=an2＋bn有时可使计算更简便.2、在解决等差数列、等比数列有关问题时，涉及的五个量an，n，d，a1，Sn通过方程组知三可求二.3、前n项和Sn与通项an的关系是：Sn=a1＋a2＋…＋an由Sn求an一定要讨论n=1，然后进行综合.例1、在等差数列{an}中，（1）已知a15=33

4、，a45=153，求a61；（2）已知S8=48，S12=168，求S4；（3）已知a1－a4－a8－a12＋a15=2，求S15；（4）已知S7=42，Sn=510，an－3=45，求n.例2、已知数列{an}的前n项和，求数列{

5、an

6、}的前n项和Sn′.例3、设数列{an}的首项a1=1，前n项之和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{an}为等比数列；（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使（n=2，3，4，…），求bn.（3

7、）求和：b1b2－b2b3＋b3b4－…＋(－1)n＋1bnbn＋1.例4、一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？例5、在XOY平面上有一个点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（0

8、，且点Pn，点（n，0）与点（n＋1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（2）若对每个自然数n，以bn，bn＋1，bn＋2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设Bn=b1·b2·…·bn（n∈N*）.若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{Bn}的最大项的项数.