《2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差》同步练习

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1、2-5-2《概率》同步练习2.5.2　离散型随机变量的方差与标准差1．下列说法正确的是________填序号．①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平；④离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值答案　③2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．解析　由∴∴P(X＝1)＝C12＝3×2－10.答案　3×2－103．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有

2、放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则V(X)＝________.解析　由题意知取到次品的概率为，∴X～B，∴V(X)＝3××＝.答案　4．已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc解析　由题意知解得答案　　5．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p令随机变量X＝，则X的方差V(X)等于________．解析　X服从两点分布，∴V(X)＝p(1－p)．答案　p(1－p)6．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.(1)

3、求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．解　(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－C3＝.(2)P(Z＝0)＝C3＝；P(Z＝1)＝C3＝；P(Z＝2)＝C3＝；P(Z＝3)＝C3＝.Z的分布列如下表：Z0123PE(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D(Z)＝2×＋2×＋2×＋2×＝，∴＝.7．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则V(X)的值为________．解析　由题意知：a＋c＝2b，E(X)＝－1×a＋c

4、＝，a＋b＋c＝1.∴a＝，b＝，c＝，∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.答案　8．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，V(X1)＞V(X2)，则自动包装机________的质量好．解析　期望值相等的前提下，方差越小，稳定性越好，质量也越好．答案　乙9．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，V(X)＝，则x1＋x2的值为________．解析　由题意知，X的所有可能取值为x1，x2，则有解得或(舍去)，∴x1＋x2＝3.答案　310．袋中有大小相同

5、的三个球，编号分别为1，2，2，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．解析　X的分布列为X135P∵E(X)＝3，∴V(X)＝.答案　11．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差．解　(1)P＝2·＝.(2)6场胜3场的情况有C种．∴P＝

6、C33＝20××＝.(3)由于X服从二项分布，即X～B，∴E(X)＝6×＝2，V(X)＝6××＝.12．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表环数5678910次数111124乙射击的概率分布列如表环数78910概率0.20.3p0.1(1)若甲，乙两人各打一枪，求共击中18环的概率及p的值；(2)比较甲，乙两人射击水平的优劣．解　(1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1，得p＝0.4.设甲，乙两人击中的环数分别为X1，X2，则P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，P(X1＝10)＝＝0.4；P(X2＝8)＝0.3

7、，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲，乙各打一枪共击中18环的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的期望E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4.乙的期望E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.甲的方差D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04.乙的方差为D(X2)＝(

8、7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.由于D(X1)＞D(X