具超音速边界可压Navier—Stokes方程解的指数衰减

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1、数学年刊2013，34A(1)：1328具超音速边界可压Navier—Stokes方程解的指数衰减冰张贵洲王维克提要考虑了二维空间上具超音速物理边界的可压Navier—Stokes方程的初边值问题．给定常数平衡态(P，0)，得到了所考虑问题解的整体存在性．在平衡态附近的小扰动下，利用加权能量估计方法得到解的指数衰减性．关键词Navier—Stokes方程，初边值问题，指数衰减，加权能量方法MR(2000)主题分类35K5O，35L45中图法分类O175．29文献标志码A文章编号1000—8314(2013)01—0013—161引言对高维等熵可压的Navier—Stoke

2、s方程(n≥2)一0．⋯、+diV(了m~m)+)=e△()+~VdiV()，’这里o(x，)，m(，t)=(m1x，)，⋯，'Inx，))’，P(P)分别表示流体密度、动量密度和压强．粘性系数满足E>0，叩≥0，并且div，V和△分别表示一般空间散度、梯度和Laplace算子．div()意味着其一级部分由div()给出．对高维全空间上的初值问题，在Matsumura和Nishida[卜】得到解的整体存在性的基础上，解在(P，0)附近大时间行为已得到较为全面的研究．Kawashima，Matsumura和Nishida[3]得到解的渐近行为为其线性化问题．对解在p空间上和

3、逐点估计研究，Hof和Zumbrun[]得到()(P≥1)估计．而Hof和Zumbrun[]对(1．1)的相关线性人工粘性方程组对其Green函数逐点描述得到详细的研究结果．后来Liu和Wang[。1考虑了奇数维空间上解的逐点估计，并表明解满足广义Huygens原理．这些工作在Wang和"fang[】中延伸到偶数维空间．对(1．1)的初边值问题，Matsumura和Nishida[剐证明半空间上解的整体存在性和n=3上外域问题，只要初始“0充分小并得到解的渐近稳定性．Deckelnick／3,9]在小初值条件下利用能量方法得到解的衰减估计为ILo。=o(t一)．而对外域问

4、题，n=3时Kobayashi和Shibata[]得到p估计，其中2≤P≤∞，只要UO也属于L．Kobayashi和Shibata[u]则得到Lp估计，其中1≤P<2，并反映出扩散波效应．另外，对(1．1)的半空间问题，Kagei和Kobayashi[]在佗=3时研究了。空间上扰动的大时间行为，本文2012年3月29日收到，2012年8月18日收到修改稿．上海交通大学数学系，上海200240；南京理工大学应用数学系，南京210094．E—mail：zgz7246@sina．com。上海交通大学数学系，上海200240．E—mail：wkwang@sjtu．edu．cn本文

5、受到国家自然科学基金(No．10171033，No．11001132)的资助．14数学年刊34卷A辑这里也要求初始，“o属于L．Kagei和Kobayashi[坞】对n≥2时研究了p空间上渐近行为，其中2≤p≤∞，并得到解u(t)在p空间上行为类似于其初值问题．上面所提到的初值问题和初边值问题所得到解的衰减都是代数衰减的，而仅在文【14】研究一维边界层解得到指数衰减．而对物理边界条件，Matsumura[】研究一维Navier—Stokes初边值问题根据边界上u(o，t)=Ub(Ub为常数)的符号分为3种情形：(a)当钆b<0时，外流问题；(b)当>0时，内流问题；(C)

6、当Ub=0时，不可渗透墙问题．相关问题已被很多学者研究过[16-19]．本文的目的是研究二维空间上具物理边界条件的Navier—Stokes方程解在(P，u)附近小扰动，得到其衰减为指数衰减．物理边界给在X>bt处，其中b>c=、／／尸(p)(即超音速边界)，C为声速．假设b>c意味着在边界x=bt处，解的主体部分是向所考虑区域边界外部移动，因而我们可得到解的指数衰减．本文的第2节中，运用一系列坐标变换和变量变换简化问题，并给出主要结果．第3节中，得到半空间问题和先验估计．第4节中，运用加权能量方法得到解的存在性和衰减性．注1．1本文仅考虑二维初边值问题，一般表示常数用C

7、，0(，，⋯，以一，)，Qt全十×R×[0，t】，通常Sobolev空间范数为m1．Ilfl1w⋯=(∑k川pL)．k=0特别地，记W，=H，其范数为I1．1lm且lI．1Io=II．1IL2：l1．1l

8、既然采用加权方法，记，(，Y，)全／／eflIo．，(，Y，t)ldxdy(=0，1，2)，碾√0，r。。lIf(x，Y，t)ll。=／／1．，(，Y，t)F。dxdy，t，腮√0厂lIf(o，·，t)=／l，(0，Y，t)ldy，t，【le譬，(，Y，t)ll=Ile~0。，(z，Y，t)l1．O<≤m2问题简化和主要结果