《不等式的实际应用》课件1

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1、不等式的应用[学习内容]一、求最值：1、若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则（当且仅当a=b时取等号）2、若a+b=S(a,b∈R+,则（当且仅当a=b时取等号）3、若a,b,c∈R+且abc=m（m为常数），则(当且仅当a=b时取等号)4、若a,b,c∈R+且a+b+c=n（n为常数），则(当且仅当时取等号)注：用均值不等式求最值要注意三点：⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立二、关于恒成立，求参数范围问题1、若f(x)≥a对x∈D恒成立，只须f(x)min(x∈D)≥a即可2、若f(x)≤a对x∈D对恒成立，只须f(x)min(x

2、∈D)≤a即可三、应用问题[学习要求]1、掌握应用不等式知识求最值问题2、初步学会不等式知识的综合应用[学习指导]1、本讲重点：求最值问题，求参数范围问题2、本讲难点：不等式的综合应用3、剖析：本讲的难度较高，必须有扎实的基础知识，才能灵活运用，提高综合能力[典型例题解析]例1：求下列函数的最值⑴的最小值⑵的最小值⑶的最大值⑷的最小值⑸的最小值⑹的最小值⑺的最小值⑻的最大值⑼的最小值⑽的最大值⑾的最小值解：⑴（当且仅当，即x=1时取等号）当c≥1时，x=1时，ymin=2当0

3、即时取等号①若当时，②若在[m,n]上递减∴x=n时，③若时，在上递增∴x=m时，⑶当且仅当，即时，⑷当且仅当，即时，⑸当且仅当，即时，⑹当且仅当，即x=0时，ymin=1⑺令在t∈[2,+∞)递增∴当t=2时，⑻当且仅当x2=4r2-x2，即时，ymax=2r2⑼当且仅当，即x=2时，⑽当且仅当，即时，⑾当且仅当，即时，例2：已知x>0,y>0,lgx+lgy=1，求的最小值解：由已知xy=10且x>0,y>0当且仅当即时取等号∴当x=2,y=5时，有最小值2例3：已知a,b是正数且a+b=1，求的最小值解：（法一）当且仅当，即

4、时，ymin=9（法二）当且仅当时取等号当时，ymin=9例5：若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围解：（方法一）（当且仅当a=b时取等号）令，则，又（方法二），又当且仅当，即a=3时，取等号∴ab≥9例6：⑴恒成立，则的取值范围是[3,4)⑵对一切实数x，若不等式

5、x-3

6、+

7、x+2

8、>a恒成立，则实数的范围是a<5例7：若x2+y2=1,x+y-k≥0对x,y∈R恒成立，求k的取值范围解：x+y-k≥即x+y≥k，∵x2+y2=1可设则例8：对θ∈R，不等式cos2θ-3>2mcos-4m恒成立，求实数m的取值范

9、围解：（方法一）原不等式令对恒成立设或或（方法二）令t=cosθ，则t2-mt+2m-2>0∴t2-2-m(t-2)>0∴m(t-2)5(方法二)设两根分别为x1,x2，则x1>2,x2>2∴x1-2>0,x2-2>0即∴a>5（方法三）只须若一根大于2

10、，一根小于2（方法一）f(2)<0（方法二）（方法三）例10：方程9x+(3+a)·3x+4=0有解，求a的取值范围解：（方法一）令3x=t>0，则t2+(3+a)·t+4=0在(0,+∞)有解，设f(t)=t2+(3+a)t+4对称轴⑴在(0,+∞)上有两根，则⑵在(0,+∞)上有一根，则f(0)<0,4<0不可能综上：a≤-7（方法二）当且仅当时，即t=2时取等号，故a≤-7例11：关于的方程有负数解，求k的取值范围解：原方程或例12：若关于x的方程lg(x-1)-lg(x-5)=1有实数解，试确定a的取值范围解：原方程由⑵得

11、：(a-10)x=49，当a≠10例13：一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，求这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形的宽为xm，则长为(l-2x)m，则当且仅当l-2x=2x，即时，答：这个矩形的长为,宽为时，面积最大为例14：某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台(x∈N*)且每批需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费43600元，现在全年只有24000

12、元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当按排每批进货的数量，使资金够用？解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批电视机总价值的比例系数为k，则，当x=400时，y=43600代入上式得∴(x-120)2≤0∴x=120答：每批进货12