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1、习题四1.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E(X),E(X2),E(2X+3).11111【解】(1)EX()(1)012;828422212121215(2)EX()(1)012;828441(3)E(2X3)2()3EX23422.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为X012345P5142332415CCCCCCCCCC901090109010901090100.
2、5830.3400.0700.00700555555CCCCCC100100100100100100故EX()0.58300.34010.07020.007304050.501,52DX()[xiEX()]Pii0222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.3.设随机变量X的分布律为X101Pp1p2p3且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求P1,P2,P3.【解】因PPP1……①,123又EX()(1)P0P1
3、PPP0.1……②,123312222EX()(1)P0P1PPP0.9……③12313由①②③联立解得P0.4,P0.1,P0.5.1234.袋中有N只球,其中的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?1【解】记A={从袋中任取1球为白球},则NPA()全概率公式PAX{
4、kPX}{k}k0NNk1PX{k}kPX{k}k0NNk01nEX().NN5.设随机变量X的概率密度为x,0x1,f(x)=2x,1x2,0,其他.求E(X)
5、,D(X).122【解】EX()xfxx()d0xxd1x(2xx)d123132xxx1.30311272232EX()xfxx()d0xxd1x(2xx)d6221故DX()EX()[()]EX.66.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.(1)U=2X+3Y+1;(2)V=YZ4X.【解】(1)EU[]E(2X3Y1)2()3()1EXEY25311144.(2)EV[]
6、EYZ[4]XEYZ[]4()EX因YZ,独立EYEZ()()4()EX1184568.7.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X2Y),D(2X3Y).【解】(1)EX(32)Y3()2()EXEY33233.22(2)D(2X3)Y2DX()(3)DY412916192.8.设随机变量(X,Y)的概率密度为2k,0x1,0yx,f(x,y)=0,其他.试确定常数k,并求E(XY).1x1【解】因fxyxy(
7、,)dddxkydk1,故k=20021xEXY()xyfxyxy(,)dd0xxd02dyy0.25.9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为(y5)2x,0x1,e,y5,fX(x)=fY(y)=0,其他;0,其他.求E(XY).【解】方法一:先求X与Y的均值12EX()xxx2d,03(y5)令zy5zzEY()5yedy50edz0zedz516.由X与Y的独立性,得2EXY()EXEY()()64.3方法二
8、:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为(y5)2ex,0x1,y5,fxy(,)f()xf()yXY0,其他,于是112(y5)2(y5)EXY()50xyx2eddxy02dxx5yedy64.310.设随机变量X,Y的概率密度分别为2x4y2e,x0,4e,y0,fX(x)=fY(y)=0,x0;0,y0.求(1)E(X+Y);(2)E(2X3Y2).2x2x-2x【解】()Xxf()dxxx2edx[xe]edx
9、X00012xedx.0214yEY()yf()dyyy4e