概率论第4-6章课后习题答案

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1、习题四1.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求E(X),E(X2),E(2X+3).【解】(1)(2)(3)2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为X012345P故3.设随机变量X的分布律为X-101Pp1p2p3且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求P1,P2,P3.【解】因……①,又……②,……③由①②③联立解得294.袋中有N只球,其中的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋

2、中任取1球为白球的概率是多少?【解】记A={从袋中任取1球为白球},则5.设随机变量X的概率密度为f(x)=求E(X),D(X).【解】故6.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.(1)U=2X+3Y+1;(2)V=YZ-4X.【解】(1)(2)7.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X-2Y),D(2X-3Y).【解】(1)29(2)8.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=试确定常数k,并求E

3、(XY).【解】因故k=2.9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为fX(x)=fY(y)=求E(XY).【解】方法一:先求X与Y的均值由X与Y的独立性,得方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为于是10.设随机变量X,Y的概率密度分别为fX(x)=fY(y)=求(1)E(X+Y);(2)E(2X-3Y2).【解】29从而(1)(2)11.设随机变量X的概率密度为f(x)=求(1)系数c;(2)E(X);(3)D(X).【解】(1)由得.(2)(3)故12.袋中有12个零件,其中9个合

4、格品,3个废品.安装机器时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X)和D(X).【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知于是,得到X的概率分布表如下:X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为29f(x)=为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元

5、,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:100元和-200元故(元).14.设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,且有E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2,…,n,记,S2=.(1)验证=μ,=;(2)验证S2=;(3)验证E(S2)=σ2.【证】(1)(2)因故.29(3)因,故同理因,故.从而15.对随机变量X和Y,已知D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=-1,计算:Cov(3X-2Y+1,X+4Y-3).【解】(因常数与任一

6、随机变量独立,故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.【解】设.同理E(Y)=0.而,由此得,故X与Y不相关.29下面讨论独立性,当

7、x

8、≤1时,当

9、y

10、≤1时,.显然故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量(X,Y)的分布律为XY-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得

11、X,Y及XY的分布律,其分布律如下表29X-101PY-101PXY-101P29由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求Cov(X,Y),ρXY.【解】如图,SD=,故(X,Y)的概率密度为29题18图从而同理而所以.从而19.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求协方

12、差Cov(X,Y)和相关系数ρXY.【解】29从而同理又故20.已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为,试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而故21.对于两个随机变量V,W,若E(V2),E(W2)存在,证明:[E(VW)]

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