概率论期末复习4

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1、2．指数分布xex0如果R.V.X的密度函数为f(x)0x0其中0为常数，则称随机变量X服从参数为的指数分布．容易验证密度函数的两条性质：⑴．对任意x，有f(x)0；易求得分布函数为x⑵．f(x)dx1．1ex0F(x)0x0指数分布的实际背景1、生物、产品(如电子元件)的寿命；2、电话的通话时间；3、随机服务系统中的服务时间；4、某些特别事件发生所需等待时间(如活火山从某次喷发到下一次喷发所需等待时间)等服从或近似服从指数分布.例3(书P45)已知某机器无故障工作时间X(小时)服从参数为1

2、/2000的指数分布。（1）求机器无故障工作时间在1000小时以上的概率；（2）如果某机器已经无故障工作了500小时，求它能继续无故障工作1000小时的概率。一般，若X服从指数分布，则对任意t0,s0,有P{XstXs}P{Xt}与s无关。无记忆性例4(书P45)某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，其寿命X（小时）都服从参数为1/600的指数分布。求仪器在使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。每个元件的使用寿命不超过200小时的概率都是1pP{X200}1e3观察三个电子元件的使用寿命是否超过200小时

3、，相当于三重贝努利试验。三个元件中使用寿命不超过200小时的个数为一个随机变量,设为Y，它服从二项分布B(3,p),即Y～B(3,p)所以P{Y1}1P{Y1}1P{Y0}110303311C(1e)(e)1e33．正态分布如果随机变量X的概率密度为2(x)12f(x)e2(x)2其中，0为参数，f(x)则称X服从参数为µ,σ2的正态分布。2记作：X~N(,)0x标准正态分布若0，1，则称N(0,1)为标准正态分布．标准正态分布的密度函数为2x1(x)

4、e2x2(x)0x可以验证密度函数满足基本性质：2(x)12f(x)dxe2dx12xdx作变换：u，则du22x1x121dx则有e2dxe2222u1e2du12正态分布密度函数的图形特征对于正态分布的密度函数2x12f(x)e2x2⑴．曲线关于直线x对称f(x)0hhx⑵．当x时，f(x)取到最大值1f()2x离越远，f(x)的值就

5、越小．f(x)这表明，对于同样长度的区间，当区间离越12远时，随机变量X落在该区间中的概率就越小．0x⑶．曲线yf(x)在x处有拐点；曲线yf(x)以Ox轴为渐近线．⑷．若固定，而改变的值，则f(x)的图形沿x轴平行移动，但其形状不变．因此yf(x)图形的位置完全由参数所确定．f(x)1201x⑸若固定,因f(x)的最大值为1f()2所以当越大时，yf(x)的图形越平坦，说明X在附近取值越分散；当越小时，yf(x)图形越陡,X在附近取值越集中。f(x)1201x说明：(1

6、)正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．如:零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.(2)正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分布的概率计算—借助于分布函数如果随机变量X~N(0,1)，则其密度函数为2x1(x)e2,2其分布函数为2xxt1(x)(t)dte2dtx22xt1P{Xx}(x)e2dtx2查标准正态分布函

7、数值表对于x0,可直接查表求出(x)PXx如果x0，可利用下述公式求得:(x)(x)1(x)-x0xx例1设随机变量X~N0，1，试求：⑴．P1X2；⑵．P1X2．解：⑴．P1X2210.977250.841340.13591⑵．P1X2212110.9772510.841340.81859一般正态分布的概率计算——化为标准正态分布函数2xt1222设X~N(,),F(x)edt2t

8、作变换y，则dtdy，代入得2xyx1F(x)e2dy()2故对任意的ab,有baP{a