随机过程复习课及考试要求

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1、中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞考试要求：第一章：随机过程及其分类（1）了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的维分布函数、分布密度的概念。（2）理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。（3）了解随机过程的分类方式及分类。（4）了解两个随机过程的联合分布的概念。会计算联合随机过程的互协方差函数和互相关函数。第二章：Markov过程（1）理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与

2、马氏过程的关系。（2）掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。（3）了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍历性的主要定理的条件和结论。能对简单齐次马氏链的状态进行分类。（4）掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。（5）掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（矩阵）的定义和求法。（6）掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。（7）理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的矩阵。第三章：Poission过程（1）掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的

3、定义。（2）掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。（3）掌握Poission过程与指数分布之间的关系。－14－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析（1）掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。（2）了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的关系。（3）掌握平稳过程各态历经性的概念。了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。第五章：

4、平稳过程的谱分析（1）掌握平稳过程功率谱的定义及性质，会对简单的随机过程求其功率谱。（2）掌握功率谱与相关函数之间的关系。（3）掌握随机信号通过线性系统后输入信号与输出信号的功率谱之间的关系。（4）了解平稳过程的谱分解定理和采样定理。（5）了解窄带平稳随机信号的表示方式。第六章：高斯（Gauss）过程（1）掌握维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。（2）掌握正态过程的定义。了解窄带平稳实正态过程的表示法。（3）了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。（4）掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字

5、特征。会求偏移系数为，强度为的维纳过程的相关函数。（5）了解维纳积分、Ito随机积分的定义和基本性质。会解简单的随机微分方程。典型复习题（1）设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为－14－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。（1）试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。（2）设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，，问过程是否为正态过程，为什么？（3）设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说

6、明理由。（4）设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？（5）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。（6）设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？（7）设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有

7、如下分布：问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。（8）设，其中与独立，都服从（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。（9）设，是零初值、强度的泊松过程。－14－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞（a）求它的概率转移函数；（b）令，说明存在，并求它的二阶矩。（1）设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计

8、积分，（a），是否齐次马氏链？说明理由。（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率和两步转移概率。（c）令，求。（2）考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均