近代数学时期

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1、近代数学时期近代数学时期主讲：李清解析几何微积分分析时代解析几何解析几何解析几何简介解析几何简介“解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，它的基本方法是坐标法。即通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。。它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、、抛物面、双曲面等）的有关性质。解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何产生的实际背景和数学条

2、件实际背景：机械运动、天体运行规律、弹道问题实际背景：机械运动、天体运行规律、弹道问题对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，迫切地需要一种新的数学工具。题，迫切地需要一种新的数学工具。数学自身的条件数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度..数学条件数学条件((一一))•解析几何产生前的几何学平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》）圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》）特点：静态的几何,既不

3、把曲线看成是一种动点的轨迹,更没有给它以一般的表示方法.•几何学出现解决问题的乏力状态16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．数学条件数学条件((二二))16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门

4、以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．Back解析几何的诞生解析几何的诞生17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。解析几何的诞生解析几何的诞生“我思故我在”•法国科学家、哲学家和数学家•欧洲近代哲学的奠基人之一，17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一•“近代科学的始祖”1616年获法学博士学位，16

5、18－1621年投笔从戎，1628年移居荷笛卡儿兰，1649年到瑞典斯德哥尔摩（法，1596－1650年）解析几何的诞生解析几何的诞生古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形.代数过于受法则和公式的约束,缺乏直观，不是有益于发展思想的艺术.几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未知量进行推理,代数学是一门潜在的方法科学.因此,把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来,可以取长补短.笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（１）用有序实数对表示点的坐标，在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应关系；（２）把互相关联的两个未知数的代数方程与平面上的一条曲线相对应

6、。解析几何的诞生解析几何的诞生•1637年《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》《折光》：折射定律《气象》：虹的形成原理《几何学》：解析几何思想任何问题⇒数学问题⇒代数问题⇒方笛卡儿程求解（法，1596－1650年）古典几何处于代数学支配之下解析几何的诞生解析几何的诞生费尔玛(法，1601-1665年）:业余数学家，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献。在笛卡尔的《几何学》发表以前，费尔玛已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．••《论平面和立体的轨迹引论》（1629）：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一

7、条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”。解析几何创立的意义解析几何创立的意义笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。••解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。••恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻