G)展开法求解非线性偏微分方程精确解

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1、第31卷第3期工程数学学报Vo1．31N0．32014年O6月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJune2014doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．03．005文章编号：1005—3085(2014)03—0361—10用(G／G)展开法求解非线性偏微分方程精确解术陈妍呐，唐亚宁，徐伟，苏朋朋f西北工业大学应用数学系，西安710129)摘要：本文对(G／c)展开法中的一类辅助方程一二阶线性常微分方程进行扩展求解，得到了此辅助方程更多形式的新精确解．借助Maple软件，利用此(G

2、／G)展开法求解了(3+1)一维potential-YTSF方程和(2+1)一维破裂孤子方程，得到了方程大量的新的精确解，包括含参数的双曲函数解和三角函数解．该方法直接简单并能构造出非线性偏微分方程更丰富的精确解，为求解非线性偏微分方程提供了一个更强大的方法．关键词：fG／G)展开法；Riccati方程；非线性偏微分方程；精确解分类号：AMS(2000)74G05中图分类号：O175．29文献标识码：A1引言非线性现象出现在物理学、化学、大气动力学、生命科学等众多领域中，这些非线性问题大多都可以归结为非线性偏微分方程(NLPDE)来求解．因此，寻找N

3、LPDE新的求解方法和获取更多的精确解有着重要的意义．近年来，求解NLPDE出现了许多有效的方法，如齐次平衡法【1】、逆散射法[2】、Hirota双线性法[3]等．最近，Wang等提出了(G／G)展开法[]来寻找NLPDE的精确解，之后，关于(G／a)展开法的各种扩展方法被不断提出[2-7]．它们都是对NLPDE的解的构造进行变形或者在不同的辅助方程的基础上进行求解．本文是在(G／G)展开法[7]的基础上，利用Riccati方程的解[8】’对辅助方程G+入G+G=0进行扩展求解【9】'得到其更为丰富的精确解，从而得到NLPDE更为丰富的精确解．最后，

4、利用此方法求解了(3+1)一维potential—YTSF方程及f2+11一维破裂孤子方程，获得了它们更丰富的精确解．2方法介绍对于给定的NLPDE：P(，Ut，钆。，u，z，Uxt，?2yt，?2zt，Utt，z，uu㈣⋯)=0，(1)其中=(，Y，Z，t)是未知函数，P是关于U及其偏微分项的多项式．利用此(G／G)展开法求解方程(1)的具体步骤如下：收稿日期：2012—11—19．作者简介：陈妍呐(1987年10月生)，女，硕士．研究方向：孤子理论及其应用．基金项目：国家自然科学基金(11202161；11172233；11102156)；西北工

5、业大学基础研究基金(GBKY1034)362工程数学学报第31卷步骤1在行波变换(，Y，，t)=u()，∈=X+Y++Vt下，将方程(1)化简为常微分方程f(u，U，U”，u，⋯)=0，(2)其中1，r是常数，，(，，”，”，⋯)是由钆(f)及()关于的各阶导数组成的多项式；步骤2假设方程(2)有如下形式的解)=。((3)其中G=G(∈)满足二阶线性常微分方程G+入G+G=0，(4)at(i=～m，⋯，m)，和为待定常数，m为正整数，a和0一不同时为零．由齐次平衡法【lO]，m可通过平衡(2)中最高阶导数项与非线性项来确定；步骤3结合方程(4)，将(

6、3)代入(2)中，此时方程(2)的左端转化成关于(G／G)的多项式．合并(G／a)的相同幂次项，并令各阶幂次的系数为零，得到一组关于at，，的方程组，并求解；步骤4求解方程(4)，将其解与at，，代入(3)，即得到NLPDE(I)的精确解．对于辅助方程(4)，我们很容易解得它的通解．文献[7]是在这些通解的基础上来构造NLPDE的精确解．本文首先将辅助方程(4)变形为Riccati方程，借助文献[8】中Ric—cati方程的解，得到辅助方程(4)的通解．然后在这些通解的基础上对其进行进一步推广，得到方程(4)更为丰富的新的通解，最后得到NLPDE(I

7、)更为丰富的新精确解．方程f41等价于(罟)=一一(罟)一(吕)，令=，则方程(4)变为Riccati方程W=一“一一W。构造方程(4)的通解就变为构造方程(5)通解即可．假设方程(5)右端的各项系数为bo，b1，b2，即bo=一，b1=一入，b2=-1．设Wo为方程(5)的一个通解，可构造方程(5)的另一更为复杂的通解为f。】1W=W0+，(6)叫其中西满足线性微分方程西：一b2一(61+2b2wo)~，即满足西=1+f+2wo)~．注1如文献[9]所述，利用此扩展方法进行方程求解后，需验证新得到的解确实不同于已有的解．第3期陈妍呐，等：用(G／a

8、)展开法求解非线性偏微分方程精确解363下面求解方程(5)，令A=。一4，则方程(5)的解有如下三种情形：情