稳态误差计算(普通解法)

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1、6.6稳态误差计算连续系统中计算稳态误差的一般方法和静态误差系数法，在一定的条件下可以推广到离散系统中。与连续系统不同的是，离散系统的稳态误差只对采样点而言。6.6.1一般方法（利用终值定理）设单位反馈的误差采样系统如图6-20所示，系统误差脉冲传递函数为E(z)1Φ(z)==eR(z)1+G(z)1E(z)=Φ(z)R(z)=R(z)e图6-20离散系统结构图1+G(z)如果系统稳定，则可用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差*(1zR−)()zee()lim()lim(1)()lim∞=tz=−Ez=(6-59

2、)tz→∞→11z→1(+Gz)式(6-59)表明，线性定常离散系统的稳态误差，与系统本身的结构和参数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且与采样周期的选取也有关。例6-21设离散系统如图6-20所示，其中，Gs()1(1)=ss+，采样周期T=1s，输入连续信号r(t)分别为(1t)和，试求离散系统的稳态误差。t解系统开环脉冲传递函数−1z1(−e)G(z)=Z[]G(s)=−1(z−1)(z−e)系统的误差脉冲传递函数1(z−1)(z−.0368)Φ(z)==e21+G(z)z−.0736z+.0368闭环极点z

3、j=±0.3680.482全部位于z平面的单位圆内，可以应用终值定理求稳态误1,2差。当r(t)=(1t)，相应r(nT)=(1nT)时，R(z)=z(z−)1，由式(6-59)求得(z−1)(z−.0368)e(∞)=lim=0z→1z2−.0736z+.03682当rt)(=t，相应r(nT)=nT时，R(z)=Tz(z−)1，于是由式(6-59)求得T(z−.0368)e(∞)=lim=T=1z→1z2−.0736z+.03686.6.2静态误差系数法sT由z变换算子z=e关系式可知,如果开环传递函数G(s)有

4、v个s=0的极点，即v个积分环节，则与G(s)相应的G(z)必有v个z=1的极点。在连续系统中，把开环传递函数G(s)具有s=0的极点数作为划分系统型别的标准。在离散系统中，对应把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数，作为划分离散系统型别的标准，类似把G(z)中v=2,1,0的闭环系统，称为0型、1型和2型离散系统等。下面在系统稳定的条件下讨论图6-20所示形式的不同型别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。1．阶跃输入时的稳态误差当系统输入为阶跃函数rt)(=A×t)

5、(1时，其z变换函数AzR(z)=z−1由式(6-59)知，系统稳态误差为AAAe(∞)=lim==(6-60)z→11+G(z)1+limG(z)1+Kpz→1式中K=limG(z)(6-61)pz→1称为离散系统的静态位置误差系数。2．斜坡输入时的稳态误差当系统输入为斜坡函数r(t)=tA时，其z变换函数ATzR(z)=2(z−)1系统稳态误差ATATATe(∞)=lim==(6-62)z→1(z−1)[1+G(z)]lim(z−)1G(z)Kvz→1式中Kz=lim(−1)()Gz(6-63)vz→1称为离散系

6、统的静态速度误差系数。3．加速度输入时的稳态误差2当系统输入为加速度函数r(t)=tA2时，其z变换函数2ATz(z+)1R(z)=3(2z−)1系统稳态误差222AT(z+)1ATATe(∞)=lim==(6-64)z→1(2z−)121[+G(z)]lim(z−)12G(z)Kaz→12式中K=lim(z−)1G(z)(6-65)az→1称为离散系统的静态加速度误差系数。归纳上述讨论结果，可以得出典型输入下不同型别离散系统的稳态误差计算规律，见表6-2。表6-2离散系统的稳态误差系统位置误差速度误差加速度误差Kp

7、=Kv=Ka=lim(zG−1)()z22型别lim()Gzlim(zG−1)()ztr)(=A×t)(1rt)(=Attr)(=tA2z→1z→1z→10型Kp00A1(+Kp)∞∞1型∞Kv00ATKv∞22型∞∞Ka00ATKa可见，与连续系统相比较，离散系统的稳态误差不仅与系统的结构、参数有关，而且与采样周期T有关。例6-22已知离散系统结构图如图6-21所示，采样周期为T。(1)要使系统稳定，K和T应满足什么条件?(2)当T=1，rt()=t时，求系统的最小稳态误差值。解.(1)系统开环脉冲传递函数为⎡⎤K

8、⎡11⎤Gz()==Z⎢⎥KZ−⎣⎦ss(1++)⎢⎣ss1⎥⎦图6-21离散系统结构图−T⎛⎞zzK(1−e)z=−=K⎜⎟−−TT⎝⎠zz−−1(ezz−−1)(e)系统特征方程为−−TTDz()(1)(=−−+−zze)K(1ez)2−−TT−T=+−ze[(1)Ke−−1]z+=e0利用朱利稳定判据−T⎧⎪DKe(1)=−>(1)0⎨−