数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)

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1、华师大数学分析(第四版)讲义第一章实数集与函数数学分析讲义序言数学分析是用极限的方法研究函数及其推广的一个数学分支。极限的概念与无穷小量概念有着密切的联系，因此也可以说，数学分析是用无穷小量方法研究函数及其推广的一个数学分支。数学分析的核心内容是微积分。牛顿（Newton，1642-1727）和莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）继承了公元15－16世纪以来许多杰出数学家的努力，在17世纪下半叶创立了微积分。［注：牛顿和莱布尼茨与康熙大帝（1654-1722）处于同一时代］微积分被用来解决大量的天文、物理、力学等问题。但微积分的理论是不严密的

2、。进入19世纪以后，微积分的不严密性到了非解决不可的地步。19世纪五六十年代，柯西（Cauchy）,黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等建立了严格的极限理论，并用极限的语言严格地证明了微积分的所有定义和定理，微积分严密化的任务终于在他们手中完成了。这些，构成现今数学分析教科书的主要内容。什么是一门严密的数学学科？就是以公理化体系建立的学科。这要从欧几里德几何说起［注：Euclid，约公元前330年～前275年。我国战国时代，公元前403年～公元前221年］。欧几里德所著的《几何原本》是世界上第一部以公理化体系写成的书。所谓公

3、理化体系首先要有一些最原始的概念，这些概念不加定义，而用这些概念去定义其他概念。如点、线、面、长度等作为原始概念。然后，用这些概念给出一些公理或公设。所谓公理或公设，指的是指不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。其它所有命题可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。下面谈一下欧氏几何。欧几里德几何提出了五条公理和五条公设。五条公理：1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。五条公设：1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3

4、.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；1中国矿业大学理学院胡建华华师大数学分析(第四版)讲义第一章实数集与函数4.凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。第5条公设等价的说法还有：给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行，或三角形内角和为180°。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的

5、前提下进行了另外情况的讨论。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼

6、几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。再回到我们数学分析这门课程。1.理论体系：实数等概念我们不再定义，作为原始的概念。实数有（I）域公理、（II）序公理和（III）连续性公理。重点要讲的是实数的连续性公理，也称完备性公理。2.主要内容：数

7、学分析的主要内容有：实数理论，极限理论、一元微分学，一元积分学，级数理论，多元微积分学等。3.重要性：数学分析内容非富，思想深刻，应用广泛，是训练数学系学生的重要基础课。数学分析直接影响到许多后续专业课程的学习，例如复变函数、实变函数、常微分方程、拓扑学、泛函分析、微分几何、概率论与数理统计、偏微分方程等。4.学习方法：以听讲，做习题，学习本教材为主，暂不需要参考书。2中国矿业大学理学院胡建华华师大数学分析(第四版)讲义第一章实数集与函数第一章实数集与函数§1实数一、集合集合是现代数学一个最基本的概念。集合论的奠基人是Cantor。数学的各个分支普遍地

8、运用集合的符号和方法，我们要养成用集合的语言来表述数学命题的习惯。1、集合的概念具有某种性质的