应用泛函答案

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1、113、在R上定义dxy(,)=arctan

2、xy−

3、，问(,)Rd是不是距离空间？证明：非负性：dxy(,)=arctanxy−≥0严格正：dxy(,)=⇔0arctanxy−=⇔=0xy对称性：dxy(,)=arctanxy−=arctanyxdyx−=(,)再证明三角不等式：设αβ,0≥时，有arctan(αβ+≤)arctanα+arctanβ（1）下面我们证明（1）式成立：设βα>，所以arctan(αβ+−)arctanβ≤arctanα−arctan0再用微分中值定理：11∃∈θβαβθ[,+∃∈],[0,]α⇒(αβα+−≤)(

4、α−0)122211++θθ12因为θθ≥，故（1）式成立。12由上面的结论可得：arctanxy−≤arctan(xzzy−+−≤)arctanxz−+arctan(zy−)故：dxydxzdzy(,)≤+(,)(,)，故是距离空间。n4、在n维Euclid空间R中，对于xxxyyy=(,,),(,,)=，定义11nnnndxy(,)=∑λiixy−i，其中λλ1,,n是n个整数，证明d是R中的距离，并且按i=1距离收敛等价于按坐标收敛。证明：n(1)证明d是R中的距离：nn非负性：dxy(,)=∑λiixy−i，因为dxy(,)=∑λ

5、iixy−i，故dxy(,)0≥i=1i=1严格正：ndxy(,)=0⇒−∑λiixyi=0，因为λi>0，所以xyii−=0，即有i=1xyxy=，=iinn对称性：dxy(,)=∑∑λλiixy−=iiiyx−=idyx(,)ii=11=三角不等式：设xxxyyyzzz=(,,),(,,)=,(,,)=111nnn故有：xyxzzy−≤−+−⇒λλλxy−≤xz−+−zyiiiiiiiiiiiiiiinnn⇒−∑∑∑λλλiixyi≤−iixzi+−iizyiiii=111==n即有dxydxzdzy(,)≤+(,)(,)，故R是R中

6、距离。(2)证明按距离收敛等价于按坐标收敛：nn21()mmm()2()∑∑λλiixx−≤i(kkxxd−k)=(,)xxik=11=n21()m()mmm2()()⇒d(,)(xx=∑λkkxx−k)≤−++−xx11xxnnk=1()m()m故有：dxx(,)0→等价于xxm−(→∞=,i1,2,,)nii1T211、令X={()

7、limxt∫xtdt()<∞−∞<<∞,t}，在X上定义距离T→∞2T−T11T2dxy(,){lim=∫xt()−ytdt()}2，证明(,)Xd是不可分的距离空间。T→+∞2T−T证明：1T2iatia

8、t（1）∀∈aR,lim∫edt=<+∞1，故eX∈T→+∞2T−T1T2iatibtiatibt2∀∈≠abRab,,，有de(,e)[lim=∫e−=edt]2T→+∞2T−Tiat定义：AeaR=[

9、∈]，则AX⊂，A与R一一对应。故A不可数，且A中任意两个不同的元素之间都是2（2）设X可分，则存在可数稠密子集E，根据稠密性，令ε=0.1iatiatiat∀∈∃∈eAxEstde,,..(,)x<0.1⇒e∈Bx(,0.1)，故A⊂Bx(,0.1)1x∈E因为A不可数，∃∈xE，且存在两个的元素满足：0iatibtiatibtee,∈∈

10、Aste,..Bx(,0.1),e∈Bx(,0.1)，00iatibtiatibtiatibtdee(,)≤+≤dex(,)dxe(,)0.2，与dee(,)2=矛盾，故不可分。0012、设X为距离空间，FF,为X中不相交的闭集，证明存在X上的连续函数fx()，使得12当xF∈时，fx()0=；当xF∈时，fx()1=12证明：dxF(,)1设fx()=，FF=φ，且FF,是闭集，A={

11、(,)xdxA=0}1212dxF(,)+dxF(,)12A是包含A的最小闭集，故有dxF(,)+>dxF(,)0，同时因为inf{(,)

12、dxyyA∈}连

13、12续，故fx()连续，则存在fx()满足命题。14、设X按照距离d为距离空间，AX⊂非空，令fx()=inf(,),(dxyxX∈)，证明fx()yA∈是X上的连续函数。证明：∃∈zx，有f(x)=inf{d(x,y)

14、y∈≤A}inf{(,)dzxdzyyz+(,)

15、∈}=dxz(,)inf{(,)

16、+dzyyzdxz∈=}(,)+fz()，故fxfzdxz()−≤()(,)同理：fzfxdzxdxz()−≤=()(,)(,)，故fxfzdzx()−≤()(,)故：∀>∃=ε0,δε，当dxz(,)<δ时，有fxfzdxz()−≤<()(,

17、)ε，故fx()连续。∞∞∞24、设{}x，{}y是距离空间(,)Xd中的Cauchy列，试证明{(,dxy)}是Cauchynn=1nn=1nnn=