3x+1猜想的一个证明

《3x+1猜想的一个证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、3x+1猜想的一个证明（2013.10.10）苏法王摘要：找到了解决3x+1猜想的一个数学工具，找出了3x+1猜想成立的条件，给出了3x+1猜想成了的一个证明。关键词：数论猜想特殊数列，级数数学方法1、引言随便取一个正整数x,我们进行如下操作：如果x是偶数，那么我们将x除以2,得到新的数x/2；如果x是奇数，那么我们将x乘以3再加上1，得到新的数3x+1。接着我们再将这个新的数施行上述同样的操作，以此类推下去,总会得到1，这就是著名的3x+1猜想。在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，克拉

2、兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法，乌拉姆(Ulam)问题等等。而在东方，这个问题被称作角谷猜想。以这么多数学家名字命名同一个猜想，足以看出这个猜想的难度。这个猜想是一个相当棘手的数学问题，许多数学家进行了认真的研究，但都没有取得成功。于是人们把这个猜想分成几个问题来研究，比如：1.1用实际计算实施验证，看能否找到反例？目前3x+1猜想已经被检验到x=112589990684262400，都没有发现反例，而且这个记录被不断刷新[1]。1.2、对任意正整数x实施3x+1操作，到达1的总长度

3、是否有限？已经知道的数2234047405400065的总长度为1871，这是目前为止已知的总长度最长的一个数[2]。1.3、对任意正整数x实施3x+1操作，是否总会到达1？数学家们已经证明，存在一个常数c和一个整数n，当n足够大的时候，在比n小的x中，能够到达1的个1数大于等于nc,目前c=0.81[3]。1.4、除了4,2,1这一完整循环，是否还存在其他循环？如果这样一个循环存在，那么它的长度应该大于102225496[4]。1.5、对任意正整数x实施3x+1操作，如果把其中除以2的变换称为

4、“偶变换”并记为E(x)，而把乘以3再加1的变换称为“奇变换”并记为O(x)，是否存在OxEx()/()log3/log2？已经证明OxEx()/()log2/log3[5]。从上述研究中，我们看到，人们对3x+1猜想的研究基本还停留在具体数字的计算验证阶段，笔者在另一篇论文中已经解决了问题1.4，本文运用一个数学工具，证明3x+1猜想。1.6、定理A：设x1为任意整数，对其实施3x+1操作，经过有限次操作，总会0到达1。2、引理为了研究方便，我们要求读者对于以下这些概念要有具体的了解，具体参见

5、[7]：1、3x+1操作；2、起始数x，除了特别规定，一般要求起始数是奇数，且x1；003、循环；4、循环数；5、去偶函数；6、S数列；7、S有限数列；S无限数列；x0x0x08、S有循环数数列；S无循环数数列。由于概念6在证明中非常重要，我们将x0x0它的定义重点表述如下：定义A：S数列：以x为起始数,对其实施31x操作，产生一个数列,将其中的奇x00数组成的数列,叫S数列,记作Sx,,,...xxx，x为奇数，0ji为自然数。我x0x0012ij们规定，起始数x为奇数，直接作S数列首

6、项，x为偶数，则以去偶函数x作S0x000x0数列首项。同时规定，如果S数列是一个有循环数列，相同的奇循环数只能取一x0次。比如说：2722113417522613402010516421421421中循环数1只能取一次，偶循环数2,4排出在外，所以S77,11,17,13,5,1。引理1:设x为起始数,对其实施31x操作，总有0SS（2.1）x0x0引理2:设x为起始数,对其实施31x操作，总有0Sxx012,,,...xx

7、xi（2.2）0其中x为奇数且唯一确定。S数列的通项公式为tx02ntx3xxxt1,(2,)1,1,1i（2.3）tt1tt引理3:如果S是循环数列，除x1外x0ixxk,0ti（2.4）ki引理1-3的证明参见[6]引理4:设x为S数列尾项，则有ix01111xxinnn33...331n01..111（2.5）222iii1221证明:结合引理2的（2.3），我们从t0，逐项计算xt，则有1xx1

8、0n31（2.6）21111xx21nn313311nx0（2.7）2222211111xx32nn31333111nnx0（2.8）22332212实施数学归纳，有31xxiin3112i1111（2.8-1）nnn33...331nx01..111222iii1221引理证毕。我们展开（2