2(3)拉普拉斯展开定理 - 复制

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1、第三节拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理小结作业1第二章行列式PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理一、拉普拉斯定理定义在n阶行列式D中,任取k行、k列(1£k£n),位于这k行、k列交点上的k2个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S,称为D的一个k阶子式.在D中划去S所在的k行、k列,余下的元按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.设S的各行位于D中第i,i,L,i行(i

2、k12k称A=(-1)(i1+L+ik)+(j1+L+jk)M为S的代数余子式.2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理20102相应的01k=2310-1012阶子式:S1=1-1例D=01-12102-212S1的余子式:101M=01201-1111S的代数余子式:01111+3+2+3A=(-1)M=-M1113阶子式:012S的余子式:210S2=1-11M2=012-221+3+4+2+3+5S2的代数余子式:A2=(-1)M2=M2.3PDF文件使用"

3、pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理aaaaa1112131415aaaaa2122232425例如,5阶行列式D=a31a32a33a34a35中,aaaaa4142434445aaaaa5152535455aa2224取子式S=,aa5254aaa111315(2+5)+(2+4)则其代数余子式为(-1)a31a33a35.aaa4143454PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理在行列式D中任取k

4、(1£k£n-1)行(列),由这k行(列)元所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1,S2,kL,St(t=Cn),它们相应的代数余子式分别为A1,A2,L,A,则D=SA+SA+L+SA.t1122tt说明:当k=1时,拉普拉斯定理就是行列式按一行(列)展开,所以拉普拉斯定理是行列式按一行(列)展开性质的推广,它是行列式按某k行(列)的展开.5PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理2010210-1

5、01按1,2行展开的例计算D=01-121二阶子式共有202-212C=10个.501-111解按1,2行展开,不为零的二阶子式为2112S=,S=121-1-111210A=(-1)1+2+1+3212==-1+2+3+5=10,A2(1)001110所以,D=SA+SA=0.11226PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理例(基本结论)分块下(上)三角矩阵行列式æAm´mOöæAm´m*ödetç÷=detç÷è*Bn´nøèOBn´nø=detA×detB分块

6、对角矩阵行列式æA1öç÷detçO÷=(detA1)L(detAt),(Ai为方阵)ç÷èAtø7PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理例设A,B为n阶可逆矩阵,证明如下矩阵可逆,æCAö并求其逆:D=ç÷.为什么？èBOøn´n解detD=(-1)(detA)(detB)¹0,所以可逆.-1æX1X2ö设D=ç÷.èX3X4ø-1æCAöæX1X2öæCX1+AX3CX2+AX4öæEOöDD=ç÷ç÷=ç÷=ç÷.èBOøèX3X4øèBX1BX2øèOEøC

7、X+AX=E-1ì13ìX3=AïCX+AX=Oï-1-1æOB-1öï24ïX4=-ACB-1ç÷íÞíD=ç-1-1-1÷.ïBX1=OïX1=OèA-ACBøïîBX=EïX=B-12î28PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理1+2+L+n+(n+1)+(n+2)+L+(n+n)detD=(-1)(detA)(detB)n(n+1)2×+n´n=(-1)2(detA)(detB)n´n=(-1)(detA)(detB).9PDF文件使用"pdfFactory

8、Pro"试用版本创建www.fineprint.cn拉普拉斯展开定理回忆(要非常熟悉):æA1öç÷detçO÷=(detA1)L(detAt),(Ai为方阵)ç÷èAtøæA1öæB1öæA1B1öç÷ç÷ç÷çO÷çO÷=çO÷ç÷ç÷ç÷èA