（2）由展开定理（仅适用单值函数）

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2016.11)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDUChapter8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数特点：1）过程繁杂乏味,结果简单精彩。2）问题复杂，思路原始。3）想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。4）学思路方法，用时查手册、程序。一、基本概念及通解结构1.二阶线性常微分方程的标准形式变系数方程，非齐次，其非齐次项亦称为自由项。齐次方程二阶线性常系数齐次微

2、分方程。对于一般n阶线性齐次常微分方程，可以用算符作用到函数上的形式表示：，是各阶微商的线性函数，最高阶为，称为阶线性微分算符。所谓线性，指算符中，仅仅包含的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。2.方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇）为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数的解析性决定。常点：如果系数函数和在点是解析的，则点称为二阶线性常微分方程的常点。奇点：如果和中的一个（或两个）在点是不解析，则点称为二阶线性常微分方程的奇点。正则奇点：如果点为方程的奇点，但在该点函数和都

3、是解析的，则点称为二阶线性常微分方程的正则奇点（二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。3.齐次方程的通解结构27MethodsofMathematicalPhysics(2016.11)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDU定理一（迭加原理）：若和是阶线性微分方程（共有个解）的两个解，则也是该方程的解（和是两个任意常数）。定理二：若和是方程的两个特解，则和线性无关的充要条件是：它们的朗斯基（Wro

4、nski）行列式(数学：Wronsky行列式)不为零。这条定理是显而易见的，如果和是线性相关的，则令.将其微商便得到方程组.当时，有非零的和解，此即反之，当时，只有平凡解：，此即表示和是线性无关的（两者的比值是的函数）。Wronski行列式的性质：i)交换对称性：ii）对数连续性：iii）线性相关性：如果和为方程的两个线性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线性组合。因此，对于这个方程来说，是完备系(基本解)，而为通解。有了通解，再根据定解条件：和,就可以确定常数和.27MethodsofMathematicalPhysics(2

5、016.11)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDU定理三：若是方程的一个特解，则方程的另一个线性无关的特解为（SeeAdv.Math.）.[证明]既然和是方程的解，所以,(1).(2)由于和是线性无关的，因此它们的Wronski行列式不为零，即.，可得.因此，.此即，.积分后可得.由于再积分，即得.1.非齐次方程的通解定理四：若和是方程的两个线性无关解，则相应非齐次方程的一个特解为，其中是Wronski行列式。[证明]

6、设为方程的任一特解，即.(3)27MethodsofMathematicalPhysics(2016.11)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDU得，，即.令，则上式变为，.作代换，其中，得，即，[利用了].所以.那么.由于，再积分，即得.用分步积分改写，即得[其中，我们利用了].二、常点邻域方程的级数解法1.解的存在和唯一性定理：如果系数函数和在圆域内是解析的，则在此圆域内，方程27MethodsofMathemati

7、calPhysics(2016.11)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDU存在唯一的、满足定解条件和的解析解.既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点为展开中心的Taylorseries:其中已知。逐项微分得和将这些带入二阶线性常微分方程，就可以确定系数{}—这种表示理论的“坐标值”。该幂级数在收敛圆内即为方程的解—级数解,其收敛半径是2．勒让德方程（Legendre’sequation），（为常数，阶Le

8、gendre’sequation）.物理上球对称Laplace方程在方向，角动量量子数取零或正