稳定性6：3.5-3.7

《稳定性6：3.5-3.7》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、3.5线性时变系统稳定性与一次近似以上各节讨论了一般非线性系统的Lyapunov稳定性的理论，本节讨论线性时变系统稳定性与非自治系统的一次近似理论。线性时变系统稳定性的判别分为两个部分。由于线性系统的解可以用状态转移矩阵和初值的乘积线性表示，所以第一种方法是根据稳定性的定义，用状态转移矩阵的性质来判别；另一种方法是直接将Lyapunov稳定性定理应用到线性系统中。首先考察线性系统稳定性的特殊性。3.5.1线性系统稳定性的特殊性线性时变系统一般地表为下述形式xAx"=(),tt≥t(3.5.1)0显然对于线性系统(

2、3.5.1)而言，原点必为其一平衡点。但除此之外，它还可能有其它非零平衡点。例如，对于系统(3.5.2)而言，当矩阵A降秩时，由线性代数可知系统具有无穷多个平衡点。关于线性系统的不同平衡点的稳定性有下述命题命题3.5.1.如果系统(3.5.1)的零平衡点稳定，则其它一切平衡点亦稳定。证明：假设x≠0是系统(3.5.1)的平衡点，令z(t)=x(t)−x则eez"(t)=x"(t)−0=A(t)x(t)又x是系统(3.5.1)的平衡点，有Atx()≡0，故eezt"()=−Atxt()(()x)=Atzt()()(

3、3.5.2)e显然系统(3.5.2)在零平衡点稳定与系统(3.5.1)在平衡点x的稳定性是相同的，而系统(3.5.2)e与系统(3.5.1)的动态特性完全相同。所以如果系统(3.5.1)的零平衡点稳定，则其一切其它平衡点亦稳定。说明：对于线性系统而言，只要一个平衡点是稳定的，则其所有的平衡点均稳定。反之，若线性系统有一个平衡点不稳定，则线性系统的所有平衡点均不稳定。从这一意义上讲，对于线性系统可直接言其本身稳定与否，而不必再指明其某平衡点是否稳定。命题3.5.2.如果线性系统零解为渐近稳定的，则必为全局渐近稳定的

4、。说明：（1）上述命题表明，线性系统零平衡状态的局部渐近稳定性等价于其全局渐近稳定性。这一特性称为线性系统渐近稳定性的全局与局部的等价性。这是线性系统所特有的重要特性。（2）由于指数稳定蕴含渐近稳定，因而对于线性系统，指数稳定性与全局指数稳定性等价。（3）由线性系统的局部与全局的一致性可以推知，若线性系统的零解为渐近稳定的，则该系统一定不存在非零平衡点。从而对于线性定常系统x"=Ax，如果它渐近稳定，则必有矩阵A非奇异。3.5.2直接判据x"=A(t)x1系统的解与其初值一一对应，即可以将系统的解表示为x(,,)

5、ttx=Φ(,)()ttxt0000因此可以用状态转移矩阵Φ(t,t)的性质来判断系统的稳定性。有如下定理.0定理3.5.1设Φ(,)tt为系统(3.5.1)的状态转移矩阵，则系统(3.5.1)为：0(1)稳定的充要条件是Φ(,)tt0在[,)t0∞上有界，即存在正常数Kt()0，使得Φ(,)tt≤Kt()<∞∀≥,tt(3.5.3)000(2)一致稳定的充要条件是Φ(,)tt0在[,)t0∞上一致有界，即存在与t0无关的正常数K，使得Φ(,)tt≤K<∞∀≥,tt(3.5.4)00(3)渐近稳定的充要条件是li

6、mΦ(,)tt=0(3.5.5)0t→∞(4)一致渐近稳定的充要条件是存在与t无关的正常数k和k，使得012Φ(,)tt≤kte,−−ktt20()∀≥t(3.5.6)010例3.5.1考虑下述时变系统2x"=−x1+t容易求得其状态转移矩阵为2()1+t0Φ()tt,0=2(1+t)从而由定理3.5.1可知系统为渐近稳定的。下面将考察该系统的一致渐近稳定性。据定理3.5.1，如果该系统为一致渐近稳定，则存在正数k1和k2满足2()1+t0−−ktt20()≤kte,∀≥t210(1+t)也即kt(1+≥)e2−

7、−ktt20()1+t2,∀t≥t10()0由于上式右端是一个正数，而左端收敛到0，因而为一个矛盾不等式。此即说明该系统为非一致渐近稳定的。说明：由定理3.5.1之结论4不难推知：对于线性系统，一致渐近稳定性等价于指数稳定性。23.5.3李雅普诺夫定理下面利用李雅普诺夫稳定性定理分析线性时变系统(3.5.1)的稳定性判据。定义3.5.1设Q(t)为定义在[,)t∞上的一个分段连续的实对称矩阵函数，它称为是一致有界和0一致正定的，如果存在正实数β21>>β0，使成立0<βIQ≤()t≤βI,∀t≥t(3.5.18)

8、120为获得线性系统(3.5.1)的Lyapunov定理，我们先来介绍一个引理。引理3.5.1设系统(3.5.1)是一致渐近稳定的，Φ(,)tt为其状态转移矩阵，Q(t)为一致有界、一致0正定的矩阵，则积分∞T(3.5.19)PQ()tt=Φ∫(,)()(,)dτττΦtτt对于任何t>0收敛，且为下述矩阵微分方程T−=PPAAPQ"()tt()()ttttt+()()+