6. 能量函数和稳定性分析

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1、麻省理工学院电气工程与计算机科学系6.243j（2003秋季）非线性系统动力学A.Megretski讲座6：能量函数和稳定性分析1这一讲给出了一些阐述李亚普诺夫或能量函数存在性与动力系统稳定性之间关系的结论。6.1平衡点的稳定性在这一节我们考虑ODE模型x_(t)=a(x(t))(6.1)其中a:X7!Rn是定义在Rn的开子集上的连续函数。前面讲过如果a(¹x0)=0,也就是如果x(t)´x¹0是（6.1）的一个解，那么点x¹02X是（6.1）的一个平衡点。根据（6.1）其它解（它们可能离x¹0很近，或者当t

2、!1时趋近于x¹0，或者满足一些其它规则）的行为，平衡点可以称为稳定，渐近稳定等等。由能量函数可以得到平衡点的不同稳定类型。另一方面，平衡点的稳定性也能给出具有某些特性的能量函数的存在。6.1.1局部稳定平衡点前面讲过，如果对每一²>0存在±>0使得t¸0时所有（6.1）的最大解x=x(t)有定义，并且所有t>0时都满足jx(t)¡x¹0j<²，那么点x¹02X称为ODE（6.1）的（局部）稳定平衡点。下面的论述使用了下半连续性的概念：如果liminff(¹x)¸f(¹x¤)8x¹¤2Yr!0;r>0x¹2Y

3、:jx¹¡x¹¤j0和定义在Bc(¹x0)=fx¹:kx¡x¹0k

4、x¹0j=r。因为假设V是下半连续的，下确界实际是最小值，因此对所有r2(0;c)是严格正的。另一方面，因为V在x¹0连续，当r!0时V^(r)趋近于零。所以，对给定²>0，我们可以找到±>0使得V^(minf²;c=2g)>V(¹x)8x¹:jx¹¡x¹0j<±。成立。这样jx(0)¡x¹0j<±（因此V(x(0))

5、¹0k:t¸0;x(0)=¹x;x(¢)satis¯es(6:1)g。(6.2)因为由假设可知解在离x¹0足够近的地方开始，并且从不离开以x¹0为中心给定的圆盘形区域，那么V在x0的邻域X0上有定义。这样，由定义可得V(x(t))对所有开始于X0的（6.1）的解都是非增的。因为V有上确界，所以它是下半连续的（事实上，这里我们使用了一个以前没有提到的理论：如果x=x(t)是使得x(t)!x¹0和x(t)!x¹1成立的（6.1）的解，那么kkk01k11（6.1）存在一个有x(t)!x¹0和x(t)!x¹1成立的

6、解）。而且，由平衡点x01110的稳定性可知V在x0是连续的。有人可能会问是否可能存在一些更好类型（比如说，连续函数）的李亚普诺夫函数。通常答案是否定的，例如下面的例子。例6.1一阶ODE的平衡点为x¹0。令a:R7!R由(xp(¡1=x¹2)sgn(¹x)sin2(¹x);x¹6=0;a(_x)=0;x¹=0:定义。那么a是对时间任意次可微的，并且（6.1）的平衡点x¹0=0是局部稳定的。但是每个沿系统轨迹不增的连续函数V:R7!R都在x¹0=0获得最大值。尽管如此，对于线性系统来说，局部稳定平衡点x¹0=

7、0表明存在正定二次型李亚普诺夫函数。定理6.2如果a:Rn7!Rn由a(¹x)=Ax¹定义，其中A是给定的n£n矩阵，那么当且仅当存在矩阵Q=Q0>0使得V(x(t))=x(t)0Qx(t)沿（6.1）的解是单调非增时（6.1）的平衡点是局部稳定的。定理的证明可以基于A的约当式，它通常是标准线性系统类中的一部分。26.1.2局部渐近稳定平衡点如果点x¹0是一个稳定平衡点，并且存在²>0使得jx(0)¡x¹0j<²0时（6.1）的所有解当t!1时趋近于x¹0，那么点x¹0称为（6.1）的（局部）渐近稳定平衡点。

8、定理6.3如果连续函数V:X7!R使得V(¹x0)