控制工程6系统的稳定性

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1、系统的稳定性本章基本内容：1.系统稳定的概念2.系统稳定的基本条件3.系统稳定性的判定：Routh判据Nyquist判据Bode判据4.系统相对稳定性的概念5.系统相对稳定裕度的概念及其计算系统的稳定性基本要求：1.掌握系统稳定与相对稳定的概念2.掌握三个系统稳定判据及其应用3.掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算重点与难点：1.三个系统稳定判据及其应用2.系统相对稳定裕度的计算系统稳定性的概念没有外力作用的自由振荡若是减幅的，则系统是稳定的；自由振荡若是增幅的，则系统就是不稳定的。1．单摆2．小球偏离初始状态后能恢复到初始状态的系统是稳定的系统稳定的含义:系统在任何足够小的初始偏差作用下，其

2、过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统是不稳定的。理解：(1)线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，与输入无关；(2)外力消失后的振荡是由初始偏差造成的;(3)不稳定现象的发生和系统具有正反馈相关;(4)控制理论中仅讨论输入为零，系统仅存有不为零的初态时的稳定性。系统不稳定现象：二阶系统中的三种情况——0<<1减幅（收敛）振荡=0等幅振荡<0增幅（发散）振荡系统不稳定现象的发生取决于系统的内部结构参数，与系统输入无关；系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正反馈。不稳定稳定系统稳定的定义：原来处在平衡状态的系统受到扰动

3、后会偏离原来的平衡状态，扰动消失后，系统能回到原来的平衡状态或达到新的平衡状态，则称该系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。系统稳定的条件：结论：当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征根都位于复平面的左半平面，该系统就是稳定的。该条件是系统稳定的充要条件。所有Re[si]<0——系统稳定只要有一个Re[si]=0——系统临界稳定，趋于等幅振荡或者Re[si]>0——系统不稳定，发散Routh(代数)稳定判据基于方程式根与系数的关系而建立通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部特征根都具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性系统的特征方程式若所有特征根都具有负实部，系统稳定的必要条

4、件:特征方程所有的系数都大于0则有：所有系数ai都大于0系统特征方程为a0sn+a1sn-1+…an-1s+an=0列Routh劳斯表:sn:a0a2a4a6…sn-1:a1a3a5a7…sn-2:b1b2b3b4…sn-3:c1c2c3…┆┆┆┆s2e1e2s1f1s0g1系统稳定的充要条件系统的特征方程式为列劳斯表：6061455666101166121sssss01234劳斯稳定判据(1)系统稳定的必要条件是特征方程所有的系数都大于0；(2)系统稳定的充要条件是劳斯表的第一列元素全大于零；(3)劳斯表第一列元素符号改变的次数代表特征方程正实部根的数目。例：设系统的特征方程式为试判别系统

5、的稳定性。解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别：第一列各数均为正数故系统稳定验证:将特征方程式因式分解为求得所有特征根为：可见,所有特征根均有负实部，所以系统稳定。劳斯表中可能出现的两种特殊情况：1.第一列出现0元素:如：处理方法：用一个正数ε→0来代替第一列的0元素，继续列写劳斯表。若该元素的上下两元素无符号变化，且都为正，说明该系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定；若有符号变化，即有一个元素为负，则系统是不稳定的，而且符号改变几次就有几个不稳定根存在。例如:特征方程式：劳斯表(＋)(＋)(-)符号有变化，说明系统存在不稳定根符号变化2次，系统的不稳定根有2个

6、列劳斯表ε上下两行符号不变，说明有纯虚根存在，系统临界稳定。将特征方程式因式分解为特征根为系统等幅振荡2.出现全0行:处理方法：由全0行上方的元素行得到辅助方程，对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的行元素继续列写劳斯表。由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为相反数的一对实根、或一对纯虚根、或一对共轭复根。82421216000某行所有项系数均为零的情况，说明特征方程有对称的根.建辅助方程,求导后继续计算例：系统特征方程式为列劳斯表由辅助方程s4+6s2+8=0可得：虽然无根在右半平面，但有根在虚轴上，∴系统临界稳定。Routh稳定判据的应用1.可在不求特征根的情况下判别系统的稳定性；

7、2.可确定使系统稳定的系统结构参数的取值范围,分析系统参数变化对稳定性的影响3.可检验稳定裕度,求使系统具有一定稳定裕度的结构参数的取值范围。令s=z-(>0),将其代入系统特征方程，可得关于z的多项式，以判断系统的相对稳定性。例:说明如图所示系统的稳定条件解：求出闭环传递函数特征方程Ts+(1+K)=0例：单位反馈系统的开环传递函数为试求K的稳定范围。解：系统的闭环特征方程：列劳斯表系统稳定的充分必要条