湖南大学 控制工程基础 课件 第五章 系统的稳定性.ppt

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1、第五章系统的稳定性5.1.1系统不稳定现象的发生首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于内部条件，而与输入无关。5.1系统稳定性初步概念其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。【负反馈】、【正反馈】第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性。5.1.2稳定的定义和条件若系统的初始状态（不论是无输入时的初态还是输入引起的初态，还是两者之和，此处，n仍为系统阶数）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰渐并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的。反之，若在初始状

2、态影响下，由它所引起的系统的时间响应，随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定的。若系统所有特征根的实部为负值，即Re[]＜0系统稳定的，若一个或多个根具有正实部。　　　　系统是不稳定的。若有部分根在位于虚轴上，其余极点均在[s]平面的左半平面，系统称为临界稳定，即x0(t)趋于等幅谐波振荡。工程上，一般认为临界稳定属于不稳定。系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都具有负实部。反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。注意：稳定性与零点无关5.2Routh（劳斯）稳定判据Routh判据是基于方程式根和系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项

3、系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。这种稳定判据又称为代数判据。必要条件：ai>0（i=0,1,2,…,n-1,n）5.2.1系统稳定的必要条件5.2.2系统稳定的充要条件1Routh表2.Routh稳定判据系统充要条件：Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零符号不同时，第一列各元符号改变次数等于系统具有正实部特征根的个数。（2）三阶系统（n＝3）稳定的充要条件：（1）二阶系统（n＝2）稳定的充要条件：例2设有系统的方框图如5.2.1图所示，已知　　，试确定K取何值时，系统方能稳定。例3设某系统的特征方程补例：系统的特征方

4、程：判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧5.2.3Routh判据的特殊情况（1）如果在Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后各元不为零或部分不为零，可以用一个很小的正数ε来代替第一列等于零的元。（2）如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存在两个符号相异、绝对值相同的实根；或存在一对共轭纯虚根；或上述两种类型的根同时存在；或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复数根。利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成Routh表的下一行。5.3Nyquist稳定判据5.3.1幅角

5、原理（Cauchy定理）当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将以原点为中心，按顺时针方向旋转N周。若令：Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls内的F(s)的极点数，则N＝Z－P。5.3.2Nyquist稳定判据特征方程为：F（s）=1+G(s)H(s)=0设开环传递函数：特征方程为：F（s）=1+G(s)H(s)=0Nyquist稳定判据：当ω由－时若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1,j0）点P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭

6、环系统稳定的充要条件是，系统开环频率特性G(jω)H(jω)不包围（-1,j0）点。例1-a如图所示为P＝0的系统的开环Nyquist图例1-b如图所示为P＝0的系统的开环Nyquist图例2，图为某系统的开环Nyquist图例35.3.3开环含有积分环节时的Nyquist轨迹例4顺时针包围(-1,j0)两圈，开环稳定，闭环不稳定5.3.4几点说明（1）Nyquist判据在[GH]平面上判据系统的稳定性（2）一般系统的开环系统多为最小相位系统，P＝0，故只要看开环Nyquist轨迹是否包围（-1,j0）点，若不包围，系统稳定。，逆时针包围（-1,j0）点P圈系统稳

7、定。（3）P＝0，开环稳定，开环不稳定，而其闭环稳定的系统，不可靠（4）开环Nyquist轨迹对实轴是对称的。例5开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定例6（1）K减小→模减小→系统稳定（2）T4，T5减小→相位减小→系统稳定例7例8例95.3.6具有延时环节的系统的稳定性串联延时环节对稳定性不利当τ<1.15，闭环稳定5.4Bode（伯德）稳定判据5.4.1Nyquist图和Bode图的对应关系ωc——剪切频率，幅值穿越频率，幅值交界频率ωg——相位穿越频率，相位交界频率5.4.2穿越的概念Bode图上，在开环对数幅频特性为正值的频

8、率范围内：