应用PDE讲义15_RitzGalerkin法

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1、应用偏微分方程与科学计算讲义（十五）Lecture Notes on  Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No.15 马石庄2011．11．03．北京1第讲Ritz‐Galerkin方法教学目的：Ritz－Galerkin方法是解数学物理方程定解问题的经典方法，由于逼近空间不同而与差分法截然不同。有限元法从变分原理出发，把Ritz－Galerkin方法与差分方法的有机结合，将逼近空间分割成许多有限单元进行分片插值，从而具有高度的灵活性和广泛的适

2、用性。主要内容：§1  Ritz‐Galerkin方法...........................................................................31.1Ritz方法（1908）.....................................................................51.2 Galerkin方法（1915）..............................................................8

3、1.3权余量方法................................................................................10§2 一维有限元......................................................................................132.1基于Ritz观点..........................................................................

4、.162.2 基于Galerkin观点...................................................................192.3 逐单元计算...............................................................................21§3 有限元法扩充..................................................................................25

5、3.1 高次插值...................................................................................253.3 混合有限元...............................................................................273.1 基于变分原理的差分格式.......................................................28练习15............

6、.......................................................................................282由于计算机运算的高速度，在古老的差分法和Ritz‐Galerkin变分方法获得新的生命力的同时，另一种新的强有力的离散化方法—有限元方法被创造出来．有限元法是经典的Ritz‐Galerkin变分方法与差分方法的有机结合．传统的变分方法由于采用整体逼近空间而与差分法截然不同，有限元法从变分原理出发，却将逼近空间分割成许多有限的单元进行分片插值，从而具有高度的灵活

7、性和广泛的适用性．有限元思想最早可以追溯到R. Courant在1943年的论文，1956年美国工程师M. J. Tuner，R. W. Clough等从结构力学角度重新提出后，在20世纪60年代逐渐形成系统的方法．1965年，中国科学家冯康在《应用数学和计算数学》杂志上发表题为“基于变分原理的差分格式”的论文，解决有限限元法的收敛性、稳定件和误差估计等基本理论问题，从而在世界上首先了有限元法完整的理论基础，这是计算方法发展史上的一个里程碑，也是中国科学家对现代数学为数有限的贡献之一。§1  Ritz‐Galerkin方法先考虑两点边值

8、问题ddݑܮ ሾאݔ，݂ൌݑሻݔሺݍ൅൰ሻݔሺ݌൬െൌሿݑߗ＝൫ܽ，ܾ൯ሺܲଵሻ   ቐdݔdݔݑሺܽሻൌ0，ݑԢሺܾሻൌ0                      其中，是一次连续可微函数݌ሺݔሻאܥଵ