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1、第4章矩阵的特征值和特征向量§4.1矩阵的特征值和特征向量§4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件§4.3实对称矩阵的特征值和特征向量8/12/20211集美大学理学院1.特征值与特征向量定义2.相关概念4.特征值与特征向量求法3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系)5.特征值与特征向量的性质§4.1矩阵的特征值和特征向量8/12/20212集美大学理学院1.特征值与特征向量定义定义4.1若存在常数及非零向量例：设即8/12/20213集美大学理学院2、相关概念(定义4.2)称※因为即n元齐次线性方程组有非零解，等价于8/12/20214集美大学理学院设A为n阶矩阵，则λ0是A的特征值，α
2、是A的属于λ0的特征向量的充要条件是λ0为特征方程det(λE-A)=0的根，α是齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解。推论1、2（P159）若α1，α2是A属于λ0的特征向量，则c1α1+c2α2也是A属于λ0的特征向量。定理4.18/12/20215集美大学理学院3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系)可求得非零解对每个解方程此即对应于的特征向量.解特征方程,即可得特征值4.求法即为的迹.这里记为tr(A)8/12/20216集美大学理学院例1求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程由8/12/20217集美大学理学院得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部
3、特征向量为8/12/20218集美大学理学院例2求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程得基础解系全部特征向量为8/12/20219集美大学理学院当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数.8/12/202110集美大学理学院例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.证明设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得※由证明过程可得结论,若是的特征值,则是的特征值.进而是的特征值8/12/202111集美大学理学院练习：8/12/202112集美大学理学院5.特征值与特征向量的性质定理4.2n阶矩阵A与它的转置
4、矩阵AT有相同的特征值。证：要使A和AT有相同的特征值，只要
5、λE-AT
6、=
7、λE-A
8、成立。事实上，
9、λE-AT
10、=
11、(λE-A)T
12、=
13、λE-A
14、＃定理4.3n阶矩阵A可逆的充要条件是它的任一特征值不等于0。证必要性：A可逆，则
15、A
16、≠0,所以
17、0E-A
18、=
19、-A
20、=(-1)n
21、A
22、≠0,即0不是A的特征值。充分性(反证法)：设A不可逆，即
23、A
24、=0,从而8/12/202113集美大学理学院
25、0E-A
26、=
27、-A
28、=(-1)n
29、A
30、=0,即0是A的特征值，矛盾。定理4.4不同特征值对应的特征向量是线性无关的.定理4.5λ1,λ2,…,λm是A的m个不同的特征值，A的属于λi的线性无关的
31、特征向量为αi1,αi2,…,αisi(i=1,2,..,m)，则向量组α11,α12,…,α1s1,α21,α22,…,α2s2,…,αm1,αm2,…,αmsm,线性无关。即λ1,λ2,…,λm是A的m个不同的特征值，α1,α2,…,αm分别是A的属于λ1,λ2,…,λm的特征向量，则α1,α2,…,αm线性无关。8/12/202114集美大学理学院※①不同特征向量可属于同一个特征值.②一个特征向量不能对应于不同特征值.③不同特征值对应的特征向量是线性无关的.8/12/202115集美大学理学院练习8/12/202116集美大学理学院§4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件1.相似矩阵概
32、念2.相似矩阵基本性质3.方阵的对角化含义4.矩阵可对角化的条件8/12/202117集美大学理学院1.相似矩阵概念※①这时也是的相似矩阵:②相似等价.定义4.3设A、B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B则称B是A的相似矩阵,或说A与B相似.记作A～B称P为把A变成B的相似变换矩阵.8/12/202118集美大学理学院2.相似矩阵基本性质基本性质(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.8/12/202119集美大学理学院证明(1)设矩阵A与B相似,即有P-1AP=B(2)
33、显然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及迹的定义即得.8/12/202120集美大学理学院例1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的特征值2,y,-1.根据特征方程根与系数的关系,有而故x=0,y=1.8/12/202121集美大学理学院课堂练习8/12/202122集美大学理学院3.方阵的对角化含义所谓方阵可以对角化,是指Λ相似.即存在可逆矩阵使成立.4.矩阵可对角化的条件定理(充要条件)阶
